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PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VI. 
On a d’ailleurs, au point P, 
ç = O, 7) = O, 
et ce point, étant singulier, sera commun aux deux courbes 
0 — 6, Hi(ç, r„ ?) = o. 
il s’agit de déterminer le degré de multiplicité de cette solu 
tion. 
Remarquons d’abord que, les rapports des quantités £, r n Ç 
étant seuls à considérer, on pourra, sans inconvénient, sup 
poser Ç = i. 
Considérons donc les deux équations 
= HjÎÊjT), l) = 0._ 
Soient7)), vio, ... les diverses valeurs de r t en fonction de £ 
tirées de l’équation cp(£, tj, i ) = o ; N le coefficient de la plus 
haute puissance de 7] dans cette équation, et enfin m le degré 
en r, de l’équation H, (£, r t , i) = o. L’équation finale résultant 
de l’élimination de tj sera 
Pour déterminer le nombre de ses racines milles, on cal 
culera le premier terme du développement de son premier 
membre, suivant les puissances croissantes de £. Son degré 
sera le nombre cherché. 
383. Supposons, par exemple, que P soit un point double. 
Prenons, pour les droites £, -t\ les deux tangentes à ce point 
double. 
La courbe cp= o devant se confondre aux termes près du 
troisième ordre avec le système des droites £== o, 7, = o, on 
aura 
(23) 
— ^7j^ ra “ 2 -h (aç 3 + -+- c fri 2 + dr\ z ) Ç n ^* +... + kt\ n . 
Formons les dérivées secondes, et posons Ç= i après les