PREMIÈRE PARTIE. 
CHAPITRE VI. 
3^0 
dérivées, par rapport à £, sera respectivement 1, o, 2, 1, 1,3, 
et l’ordre du déterminant 
«Pu 
?12 
Tl3 
®21 
?22 
?23 
'f31 ?32 
?33 
sera, comme on le voit aisément, égal à 3. 
Si l’on donne à tj une des deux valeurs suivantes r i2 , r l3 , 
les dérivées cp H , cp )2 , . . . seront respectivement d’ordre -j, o, 
4, |, 1, et H( sera d’ordre f. 
Enfin, si l’on donne à 7\ une des valeurs r n , . .., les déri 
vées cp H , cp, 2 ,... et le déterminant seront d’ordre o. 
Donc le premier membre de l’équation finale, 
r n , i)IIi(?, t ;2 , 1)... = 0 
( où N se réduit à la constante k), sera d’ordre 3 + | -h 4 = 6- 
Un point double représentera donc, à lui seul, six inter 
sections des deux courbes. 
384. Passons au cas où P est un point de rebroussement. 
Prenons pour droite '/] la tangente en ce point, la droite ç 
conservant une direction arbitraire. L’équation de la courbe 
devant se réduire à -/¡ 2 , au troisième ordre près, on aura 
(24) <p(£, 7], £) = Tj 2 S; re - 2 -h (ai; 3 -+- ¿>£ 2 ï) H- cçTf] 2 + c/t! 3 ) ..., 
et, pour Ç = 1, les dérivées <p n , cp, 2 , . . . auront les valeurs 
suivantes ; 
cp n = 6a\ 4- 2bt\ +..., 
tf 12 =2^ + 2CT)+..., 
«p I3 ( a — 3) (3a£ 2 -h 2 bc,t\ + cr, 2 ) +. .., 
cp^2 — 2 —2 C ? —t - 6 dt1 H - . • • , 
cp 23 = 2(n — 2)7) -f- (tl — 3)(6$ 2 +. . .) + . . ., 
cp 33 (fl — 2 )(ri — 3 ) Tj 2 —f— ( IX — 3 )(n — 4) H- 
Cela posé, l’équation ©(£, tj, 1) = o a deux racines d’ordre|,