THÉORIE DES COURBES PLANES ALGÉBRIQUES. 
■V' 
courbe pi'oposée 
et de sa polaire 
■(5, 
r i> 0 = o 
*®i ~t~ + Y?3 — 4* (?> L j 0 — o. 
On aura le degré de multiplicité de cette solution en cher 
chant l’ordre par rapport à £ de la quantité 
r ii> 0 '+ i)• • • —- o. 
Or, 7), étant du deuxième ordre en ç, il est clair que 
'}(£, 7)i, i) sera d’ordre i ; '/] 2 et + sont d’ordre 0 et il en sera 
de même de '|(ç, r r2 , i)et (j/(£, 7) 3 , i); les autres racines +,,... 
sont d’ordre zéro, ainsi que les valeurs correspondantes de 'i, 
et la constante A" -1 . 
Donc, le degré de multiplicité de la solution sera 
i + | + j— 2. 
390. Si P est un point de rebroussement, on ramènera 
l’équation de la courbe à la forme (a4). On aura ensuite 
® i — O Cl g —1— 2 A iT ( —)— CTj “ —f- . . . , 
® a =aij + 6» + ..., 
'fi = ( « — 2 ) V -j- ( a — 3 ) ( a ; 3 +. . . ) + 
L’équation cp(ç, r,, i) = o a deux racines r H , r t2 d’ordre 4; 
les valeurs correspondantes de r n i) sont aussi d’ordre |. 
Les autres racines r l3 , . . . ont pour ordre o, ainsi que les va 
leurs correspondantes de 4». Le degré de multiplicité de la 
solution sera donc 4 + 4 = 3. 
391. Nous pouvons donc énoncer ce théorème : 
Si la courbe fde degré n, a d pointa doubles et r re 
broussements, sans avoir cVautre sorte de points singu 
liers, sa classe v sera donnée par la formule 
v = n ( n — i ) — 2 d — 3 /•. 
MM