DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 
I— n 
ivait été 
m. 
ns, sui- 
R /2 ten- 
produit 
H i) 
X n . 
> — G 
: facteur 
Enfin le 
ît, clési- 
n 
— X. 
Or, lorsque n augmente, le facteur —--—x tend évidem 
ment vers — x. Sa valeur absolue tendra donc vers mod^c; 
donc, en désignant par r une quantité quelconque comprise 
entre modx et l’unité, on pourra assigner une valeur v de n à 
partir de laquelle on aura constamment 
. m — n 
mod x < r. 
Gela posé, on aura 
modPv +1 < /' modP v , 
modPv-t-2 <C r modPv+i, 
Les modules des quantités P v+1 , P v+ 2> • • ., étant respecti 
vement moindres que les termes d’une progression géomé 
trique dont la raison est ■< i, décroîtront au-dessous de toute 
limite. 
Si donc on prolonge indéfiniment la série du binôme, elle 
sera convergente et tendra vers (i -f- x) m . 
Si mod a? était >-1, la série serait au contraire divergente, 
i ,, . , . y m — n + x 
car le rapport d un terme au suivant est égal a — x, 
quantité qui tend vers — x quand n augmente. Les termes 
iraient donc croissant en valeur absolue. 
75. Passons à la fonction f{x) == log(i -h x). On aura 
f(x)= (i + ar)- 1 , 
f"{x)=- (i+^)- 2 , 
f"\x) = 1.2(1 + ¿c) -3 , 
— {—l) w 1.2 . . .{n — 2)(l + a?) ,i+1 , 
fn L=z ( . 2 . . . {n I ) (l + x)~ n , 
d’où 
/(O) =0, /'( o) = i, /'( o)=-L 
/ n+1 (o) = (— l) re I,2. . .{n — 2), 
f n { §x) — (— l)" 4 - 1 ! . 2 . . . (n— 1) (1 + bx)~ n .