Quadrat (Geometrie). 
4 
Quadrat (Algebra). 
Halbkreis, cd senkreckt auf ab, und hd, 
so ist bd die Seite des Quadrates. 
Denn da bda ein rechtwinkliges Drei 
eck ist, muss das Quadrat der Kathete 
bd gleich dem Rechteck aus der Pro 
jection derselben bc auf die Hypotenuse 
und der ganzen Hypotenuse ba sein. 
Auflösung III. Mache Fig. 7. 
ab —AB, bc—BC, errichte über ac einen 
Fig. 7. 
den Abschnitten hc und ha einer Secante, 
welche dieselbe schneidet. 
Durch diese Constructionen lässt sich 
also in der That jedes Vieleck in ein 
Quadrat verwandeln. Wie krummlinige 
Figuren in Quadrate zu verwandeln sind, 
siehe in dem Artikel Quadratur. 
Quadrat (Algebra). Die zweite Potenz 
einer Zahl, oder das Product der 
selben mit sich selbst. 
Da der Flächeninhalt eines Recht 
ecks gleich dem Product zweier an- 
stossenden Seiten, beim Quadrat 
dieselben aber gleich sind, so ist 
a-a — a' 1 in der That der Aus 
druck für den Flächeninhalt eines 
Quadrates mit Seite a, und daher 
die Uebcrtragung dieses Namens. 
Das Quadrat eines Binomen gibt 
die Formel 
(rt + i) 2 : 
sich durch 
: « 2 + 2«i + i 2 , 
Halbkreis, und ziehe von b an denselben die sich durch Multiplication von 
Tangente bd, so ist diese die Seite des {a -f b) • (a -f b) unmittelbar ergibt. Eben 
Quadrates. Denn das Quadrat einer so wird augenblicklich gefunden das 
Tangente bd ist gleich dem Rechteck aus Quadrat eines Polynomen: 
(«i+rt2+ ö s+- • * a n ) 2 '- 
-f 1^2 -\-2a-f 
+2 a„a 3 + 
‘+«2 2 + ft 3 2 + 
+ 2 <*!«„ 
+2«,« 
+ a „ 
oder abgekürzt: 
+% a n—i a n 
(!(«,)) 2 = 2 X a ) 2 + 2 s(aaj, 
wo s und t alle Werthe von 1 bis n annebmen. Oder in Worten: das Quadrat 
eines Polynomen ist gleich der Summe der Quadrate aller Glieder plus der Summe 
aller doppelten Producte von je zweien derselben. 
Sehr wichtig ist auch die Formel, welche lehrt, eine homogene ganze Function 
zweiten Grades von beliebig viel Variablen in eine Summe von soviel Quadraten, 
als Variable vorhanden sind, zu verwandeln. Es sei die gegebene Function: 
a x. 2 + « a? 2 4- 
1,1 2,2 2 ' 
+ V‘‘ + Vl I ! + Vl’3 + ' ' ' +a Vl X . 
+2 Vi’s + ' ' ' +2 W„ 
so setze man dafür: 
-\-2a 
i—1, n n—1 n 
(Vi + V 2 + Vs + • * • + W ,+ (Vi + ‘y*3 + * • • +b 2,n x S 
Es ergeben sich dann durch Vergleichung der Coefficienten n und b leicht die 
nöthigen Gleichungen zur Bestimmung der b. Sind s und l beliebige Zahlen 
zwischen 1 und n, so sind diese Gleichungen von der Form: 
V+V+V+ 
-fi % ~a 
s,s s,S