tische Gleichungen. 
Quadratische Gleichungen. 103 Quadrat. Gleich, (unbestimmte). 
3I0 nur die Gleichungen 
, wenn man wieder p, q 
fM 3 )-10s 2 M 2 G+M) = c 
= c. 
statt dieser Gleichung zu 
*) + 5 aq 2 = c, 
c, 
quadratischen gibt. 
re einfache Anwendung 
c Elemente der Algebra 
häftigen wir uns mit der 
.usdruck ]/« +]/ 6, wel- 
Vurzel unter der Wurzel 
es geschehen kann, in 
er Differenz zweier ein- 
zn verwandeln, 
setzen wir: 
'b = Vx+Yy 
ese Gleichung ins Qua- 
t: 
x+y±ßVxy, 
die man in 2 andere 
wenn man den rationa 
alen Theil sondert. Es 
c+y = «, 
faj=Vb 
4a; y - b. 
mme und Product der 
inten bezüglich a und 
. die quadratische Glei- 
r urzeln x und y sind, 
linitt 21): 
h 
= + 6, y = |(a —/i 2 —6, 
folglich: 
und 
Die Ausdrücke rechts nehmen immer die 
Gestalt einfacher Wurzeln an, wenn 
a 2 — b die Form eines vollständigen 
Quadrates hat. 
Beispiele: 
1/87 -12/42 = /87—/6M§ = 3/7 - 2/6, 
/#+/2 =1+4/2, 
/+4/3 = /4 + /3 = 2+/3. 
Man kann aber allgemein die Frage 
stellen, unter welchen Umständen a 2 —b 
ein vollständiges Quadrat ist. 
Es muss dann offenbar sein: 
a 2 — b — (a —r) 2 —a‘ 2 —2nc+c 2 , 
also 
b — 2ac—c 2 , 
wo c eine ganz beliebige Zahl ist. 
In unserm ersten Beispiele war: 
in Bezug auf x vom ersten Grade sein, 
also sich ohne Weiteres für ein beliebi 
ges rationales y auch ein rationales x 
ergeben. 
Indem man die Gleichung mit 4a mul- 
tiplicirt, nimmt sie die Gestalt an: 
(2 ax + by + d) 2 — (d-\-by) 2 — 4rt(/’+ey 
+ cy 2 j. 
Also wenn man setzt; 
2 ax-\-by 
d 2 —4:af—y, 
db—2ae — h, 
b 2 —4 ac — Ä, 
so kommt: 
u 2 =Ay 2 + ehy+y 
oder wenn man noch 
Ay + h-v, 
h 2 — Aq~B 
setzt, und mit A multiplicirt: 
v 2 ~ Au 2 -\-B, 
wo weder 4undß gleich Null sein sol 
len, da sonst sich die rationalen Werthe 
augenblicklich ergäben 
Ist diese letzte Gleichung in rationalen 
Werthen von u und v gelöst, so hat 
man rationale Werthe für x und y mit 
tels der Formeln: 
a — 87, 6 = 6048 = 2-87-48—48 2 , 
also 
a — c=39. 
Cluadratische Gleichungen (unbe 
stimmte). 
1) Quadratische Gleichungen bleiben, 
wie alle Gleichungen, unbestimmt, wenn 
weniger Gleichungen gegeben sind, als 
die Anzahl der Unbekannten beträgt. 
Man kann dann, wenn z.B, n Gleichun 
gen mit p Unbekannten gegeben sind, im 
Allgemeinen p — n der letztem beliebig 
bestimmen. 
Diese Beliebigkeit aber hört auf, wenn 
man über die Art der Werthe der Un 
bekannten Bestimmungen trifft. (Siehe 
Artikel: unbestimmte Aufgaben.) 
Wir wollen hier nur eine Gleichung 
mit 2 Unbekannten betrachten: 
ax 2 + 26 xy + cy 2 + dx + ey + f=0. 
Die Coefficienten derselben seien ganze 
Zahlen. 
Es wird zunächst verlangt, diese Glei 
chung durch rationale Werthe von x 
und y zu lösen. Weder a noch c sollen 
den Werth Null haben, denn fände dies 
z. B. für a statt, so würde die Gleichung 
Au—bv-{-hb—Äd v — h 
X = 2aA ’ * = 
die man sogleich aus den obigen erhält; 
und nur in dem Falle, wenn die Glei 
chung 
v 2 =Ati 2 -\-B 
wirklich auf rationalem Wege lösbar ist, 
findet Gleiches auch für die gegebene 
Gleichung statt. Mit der letztgeschrie- 
benen Gleichung haben wir uns also 
allein zu beschäftigen. 
Noch sollen A und B keinen quadra 
tischen Factor haben. Denn wäre 
A-A'u 2 , B = B'ß 2 , 
so würde man setzen können: 
v — ßv' und au = ßu r , 
die Gleichung nehme dann die Gestalt 
an: 
ß 2 v’ =A'ß 2 u' 2 + B r ß 2 , 
d. h. 
v' 2 = A'u'*+B f , 
was wieder die Gestalt unserer Glei 
chung ist. 
Wir betrachten jetzt v und u als Brü 
che, die auf ihren kleinsten Generalnen 
ner gebracht sind.