eich, (unbestimmte). 
Quadrat. Gleich, (unbestimmte). 107 Quadrat. Gleich, (unbestimmte). 
W + ßs' 2 :ri*. 
mit ßk 2 , und setzen 
-Bs' = r' 
[l — r 
's' 2 +/Si' 2 . 
ichung ß und /3 relativ 
sind, so fällt die dritte 
veg. Wegen der Glei- 
ßh } +1 
B mod/3 
ratischer Rest von ß, 
iratischer Rest von B 
—1 mod B, 
d. h. ß quadratischer 
Bedingungen der Auf- 
ilso auch bei der hier 
Reductionsweise statt. 
nit diesen Reductionen 
man zuletzt auf eine 
icr der Coefficienten 1 
s 2 + ßi 2 . 
diese Gleichung immer 
mit wird auch bewiesen 
Reductionsbcdingungcn 
g, sondern auch aus- 
.uflösbarkeit der zuerst 
mg sind. 
e letzte Gleichung an- 
m sie aufzulösen nur 
ucke s 2 -fßi 2 die Form 
i Quadrates zu geben, 
a = (s+ß) a , 
:2ßS-f-ß a , 
1 2 -et* 
2« ’ 
mittels der Gleichung 
oder r = s + « 
t 2 +a 2 
~2n 
iebig zu nehmen eben 
s freilich nicht nöthig 
Zahlen sein, so setze 
man die eben gefundenen Werthe in die 
Gleichung 
r 2 = s 2 + Bt ! 
ein. Es kommt; 
(ß< 2 +« 2 ) 2 _ (Bl 2 -« 2 ) 2 , nfi 
4« a “ 4« a + ’ 
also wenn man die Nenner wegschafft; 
(Bt 2 +u 3 ) ! — (Bl 2 — ß 2 ) 2 -fß4n: 2 t 2 , 
woraus sich ergiebt, dass unsere Glei 
chung ebenfalls erfüllt ist, und zwar in 
ganzen Zahlen durch die Werthe: 
r — Bß 2 + ß 2 , s = ß/3 2 —ß% t = 2"ß. 
Es ist in diesen Formeln ß für t ge 
schrieben , um es von der unbekannten 
Grösse t zu unterscheiden. a und ß 
sind beliebige Zahlen. 
Es ist aber auch klar, dass wenn die 
Ausdrücke r, s, t einen Factor gemein 
haben, dieser unterdrückt werden kann. 
Kann also B auf irgend eine Art in 2 
Factoren 
B — bc 
zerlegt werden, so setze man a — ac, wo 
dann der Factor c in der That heraus 
tritt, und man erhält, mit Weglassung 
desselben, 
r~ 6/3 2 +c« 2 , 
s = bß 2 —ca 2 , 
l-2aß. 
7) Beispiel. Die aufzulösende Glei 
chung sei: 
/• 2 =32i 2 +17« 2 . 
Die Reductionsgleichungen waren 
»* - B ,, A . 
— — ah 2 , wo n<— ist, 
A 2 
r — iit—Al', 
ks — &', 
ak 2 t—nl' ~r' 
(siehe Abschnitt 3), in unserm Falle 
aber ist 
A = 32, B = 17, 
also; 
_ , 49-17 , . 
m — 7, da —— = 1 isfc 
ß = l, 7t = 1, 
r~lt—32l', r' — t—ll’, s — s'. 
Die Gleichung 
r ,2 -a& ,l + Bt' 2 
aber wird 
r' 2 = s' 2 + 17i' 2 
und mittels der Formeln für r, s, t im 
vorigen Abschnitte ergiebt sich: 
r' = 17/3 2 +« 2 , 
s' = 17^ 2 —a 2 , 
l r = 2 aß, 
ferner 
r~ 7 t—64ß/S, 
r'-t-l^aß 
oder 
l —17/5 2 +« 2 + 14ß/3, 
also auch 
r = 119 / 3 2 -f7ß 2 +34ß i S, 
s — s' — 17 ß 2 — a 2 . 
Soll die vorgelegte Gleichung: 
ax 2 + 2bxy + cy 2 + dx + ey + f— 0 
durch ganze Zahlen aufgelöst werden, 
so lassen sich allerdings auf diese Weise 
Auflösungen gewinnen, wenn man aus 
den sich ergebenden rationalen Werthen 
die ganzen aussucht. Indessen würde 
die Ausführung grosse Schwierigkeiten 
machen, namentlich wenn alle Auflö 
sungen gefunden werden sollen. Es ist 
daher die Aufgabe direct anzugreifen. 
Für einen einfacheren Fall gibt die 
Theorie der quadratischen Formen die 
nöthigen Hülfsmittel hierzu. 
8) Wir wollen die Gleichung 
ax 2 -f- 2bxy -\-cy 2 ~n 
in ganzen Zahlen auflösen. 
Das Verfahren gestaltet sich ganz ver 
schieden, je nachdem die Determinante 
D — b 2 —ac 
(siehe den Artikel: quadratische Form) 
positiv oder negativ ist. Der letztere 
Fall aber ist der bei Weitem einfachere. 
Wir behandeln ihn zuerst. 
Es sei 
b 2 —ac — — Aj 
so hat man, wenn man die gegebene 
Gleichung mit a multiplicirt: 
(axß-by) 2 Ay 2 — an 
und wenn 
ax -\-by~u 
gesetzt wird 
u 2 + A y 2 — an. 
Die positive Zahl 
u 2 — an— A y~ 
hat immer eine endliche Anzahl Werthe. 
Man berechnet dieselben, indem man für 
y nach der Reihe die Zahl 0, 1, 2 . . . 
einsetzt, so lange bis