. (unbestimmte). 
Quadrat. Gleich, (unbestimmte). 111 Quadrat. Gleich, (unbestimmte). 
ler gegebene Bruch 
von y ist. 
hat ein Näherungs- 
Y orh ergehende. 
+ 
+ 1 
der 
+ 1 
ungswcrth von y ist. 
lassung von — geben 
x 
und nur diese den 
lende Näherungswerth 
»raussetzung umfasst 
nenner bis io 
s « —1, die Anzahl 
11 7 
so im letztem Falle 
ti erstem. 
Da nun 
P9o~9Po = ± 1 
ist, und das Zeichen rechts, wenn man 
in der Zahl der Näherungswerthe fort 
schreitet, abwechselnd positiv und nega 
tiv ist, so hat man im zweiten Falle 
P ( Io- ( lPo = ~ i > 
wenn im ersten pqo—qPo—^ ist» wo * 
eine der Zahlen +1 oder —1 bedeutet. 
Ausserdem aber war: 
t _px+p 0 
also 
q—q 0 <? 
x- 2 —~~ >1. 
qd 
r- 
also 
qx + q 0 ’ 
^ P 
Folglich ist dann — ein Näherungswerth 
q 
von y, oder er ist dies nicht, je nach 
dem d' nicht grösser oder grösser als 
q 
—-— ist. 
q+q o 
Endlich ist noch q 0 <q, da die Nähe 
rungswerthe der Kettenbrüche in Bezug 
auf die Grösse der Zähler und Nenner 
q 
immer zunebmen. Ferner ist 
q+q o 
„_Po-qoV 
x — : 
mer grösser als 
qy-p 
dieser letzte Ausdruck enthält das ver 
langte Criterium. 
Es ist nämlich klar, dass x positiv 
und grösser als 1, wenigstens gleich 1 
sein muss, weil im entgegengesetzten 
Falle — grösser als 1 wäre, und dann 
x 
der letzte Partialnenner nicht richtig sein 
könnte. 
Ist also — nicht in dieser Weise zu 
q o 
bestimmen, so kann der gegebene Aus- 
P 
druck — kein Näherungswerth sein. 
q 
Da nun 
_p_ -(pq 0 -qpo) 
y q q(q x +q«) 
ist, so muss immer derjenige Werth von 
pqo-qpo = ±i 
genommen werden, welcher dem Zähler 
gleiches Zeichen mit y—— giebt, also 
selbst das entgegengesetzte Zeichen hat. 
Setzt man noch 
p 
cT also gleich 
2‘ 
„Wenn also d kleiner als - ist, so 
P 
ist - immer ein Näherungswerth von 
q J 
69 
Beispiel. Es wird gefragt, ob 
28 
ein Näherungswerth von 
Man hat 
- 9 = 2+l 
28 2+1 
6+l_ 
2. 
Es ist nun entweder 
—=2+1 
2+1 
6 
781 
317 
ist. 
q o 
oder 
Po 
q o 
= 2+1 
Im ersten Falle würde p 0 = 32, q a ~ 13, 
im zweiten p 0 = 37, <7 0 = 15 werden. Im 
ersten Falle ist 
q x +q o 
genommen wurde, so muss, damit x>l 
sei, auch cT<—-—— werden. 
Wenn aber 
d= ^+i 0 oder =±Wy-Pti’ 
abgesehen vom Vorzeichen, kleiner als 
q 
—; ISt, SO ist 
q+q o 
q>q+q 0 <f, 
im zweiten 
Aber 
P?o-?Po=l, 
pqo-qp 0 = -+ 
Ab- 
9 q~ 317 28 317-28’ 
Es ist also der erste Werth zu nehmen, 
da dieser pq 0 ~qp 0 positiv macht, 
gesehen vom Zeichen ist 
d _ 5 
q*~ 317-28’ 
? 2 = 28 a ,