sich, (unbestimmte). 
Quadrat. Gleich, (unbestimmte). 113 Quadrat. Gleich, (unbestimmte). 
rzeln der Gleichung 
262 + c = 0 
-fü-b 
und z = 
a 
stimmt also immer mit 
— in Bezug auf das 
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Quadratwurzel überein, 
gefunden, wenn man 
q = D 
se jetzt vollständig be- 
so ist immer: 
a 
;an Abschnitte aber ist 
werth von z, wenn ab- 
u’zeichcn: 
<f A . 1 
— und cfCjr 
q l 2 
msrer Annahme 
N<yW 
aN . . . , 
renn —- positiv, d. h. 
dasselbe Zeichen haben, 
ung immer erfüllt. Es 
V 
Verth von — unter der 
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rungswerthe von z ent- 
N das entgegengesetzte 
braucht nicht jeder Werth 
■rungswerth von z zu sein. 
Zähler und Nenner der 
e immer wachsen, so kann 
s nehmen, dass iV kleiner 
wird, vorausgesetzt, dass 
ist. Dann ist cf und man 
erhält also in jedem Falle durch unser 
Verfahren Auflösungen der unbestimmten 
Gleichung, falls dergleichen in relativen 
Primzahlen möglich sind. 
13) Was die Gleichung 
< 2 -Dm 2 =1 
und selbst 
t 2 —Du 2 = —1 
anbetrifft, so ist die Gleichung, welche 
den Kettenbruch giebt: 
z 2 = D oder z = ]//>. 
In dem Kettenbruch für y D sind aber 
alle Auflösungen unserer Gleichungen 
enthalten. Denn zunächst ist 
und cf wird gleich 
1 
i/zr +1 /( D± i). 
je nachdem die erste oder zweite Glei 
chung gilt, ein Ausdruck, der immer 
kleiner als i ist, wenn D grösser als 
X ist. 2 
Was namentlich die Feilsche Gleichung 
anbetrifft, so ist in dem Artikel: Qua 
dratische Formen der Beweis geführt 
worden, dass sie immer auflösbar sei, 
und ihre Wurzeln sind also immer auf 
diese Weise zu finden. 
Hatte man aber nur ein Paar Wur 
zeln der Gleichung 
U —Du 2 = 1, 
T und U, und zwar die kleinsten berechnet, 
so gab die Formel: 
i+M]/ZT= (T+Uywy 1 
alle Uebrigcn, und man konnte dann 
mit Hülfe einer Auflösung der Gleichung 
ax 2 -\-2bxy -\-cy 2 — N 
alle zu derselben Gruppe gehörigen fin 
den, wenn man setzte: 
p l =pt-(bp + cq)u, q l =ql+(ap + bq)u. 
Man hat also, selbst wenn a und N 
gleiches Zeichen haben, nicht nöthig mehr 
als eine Wurzel aus jeder Gruppe mit 
tels der Gleichung 
az 2 +2bz,-\-c~0 
zu bestimmen. 
Dies Verfahren führt aber auch dann 
zu allen Wurzeln, wenn a und N un 
gleiches Zeichen haben. Denn da die 
eben hingestellten Werthe für p t und 
q t alle Wurzelwerthe derselben Gruppe 
enthalten, so lässt sich leicht zeigen, 
dass in jeder solchen Gruppe sich Werthe 
finden müssen, wo 
N< 
wird, zu deren Kenntniss 
Verfahren führt. 
Sei nämlich 
also 
unser 
cip + bq = n, q = ß, 
so wird: 
q t =ßl + cni-, 
haben u und ß gleiches Zeichen, so muss, 
da t und u über alle Gränzen wachsen, 
dies auch mit </ l der Fall sein. 
Dasselbe aber tritt auch ein, wenn ß 
und a ungleiches Zeichen haben. Dies 
sieht man sogleich, wenn man zur Be 
stimmung von t und u die recurrenten 
Formeln anwendet: 
t =2Tl -\-t , u =22'u + u 
n-\-1 n n—1 n+1 n n—1 
Da t >t . u >u so wachsen diese 
n n—l n n—l 
Ausdrücke t u „ offenbar mit zu- 
n+i »+1 
nehmendem n schneller als die Reihen: 
Bl ,, lt ., 17# ., 41# ... 
w _l 7 n—i n—i n—i 
Bll , hl , 17m , 41m . . ., 
ft— 1 n—1 n—1 n—1 
die mau erhält, wenn man t ~t i 
n—1 
T—1 setzt, und t ,i t ■ 
i-V ’ «4-2 
bestimmt. Es wird dann: 
ßt-\-ciu — s(ßt +«m ), 
r 1 «—1 n—i 
wo s ins Unendliche wächst, und da 
ßt +«M nicht für jedes t und m 
Null werden kann, so wird ßt+cm in 
der That ins Unendliche wachsen. 
Es ist also durch die Verwandlung 
der Wurzel von Gleichung: 
«z 2 +26z-|-c=:0 
in einen Kettenbruch, jedenfalls aus je 
der Gruppe eine Auflösung zu finden. 
Alle übrigen Auflösungen aber giebt die 
Feilsche Gleichung. Es ist hier ange 
nommen, dass a, 2b und c nicht alle drei 
grade sind. Das Gesagte erleidet eine 
leichte Modification, falls dies stattfindet. 
Nach dem in Abschnitt 10) Gesagten 
ist dann zu setzen: 
= 1 
und wenn Tund U die kleinsten Auflösungen 
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