Quadrat. Gleich, (unbestimmte). 116 Quadrat. Gleich, (unbestimmte). 
ax 1 -\-bxy-\-cy 2 — N 
seien a und N relative Primzahlen, so 
setzt man: 
x — +iYü?' -f- ny, 
wo das Zeichen so zu bestimmen ist, 
dass +JV positiv wird. In dieser Glei 
chung denkt man sich x, y als gegeben, 
und x f , n als Unbekannte, welche sich 
somit leicht bestimmen lassen. 
In der Reihe der Auflösungen dieser 
unbestimmten Gleichung kann dann n 
so angenommen werden, dass es die 
Gränzen — und -f- £N nicht über 
schreitet. 
Setzt man aber diesen Werth von x 
in unsere Gleichung, so kommt: 
+rti'V 2 a/ 2 +2(ä!n-f h)Nx r y-\-(an 2 +24»i + c)i/ 2 — N 
oder wenn man mit +iV dividirt: 
aNx f 2 + 2(an + h)x’y + ( fl » a + 2&»+f) ya _ ±1> 
N und y waren relative Primzahlen, 
es ist also an 2 -\-2bn-\-c durch N theil- 
bar; wir setzen: 
an i +2bn+c , 
und es wird: 
aNx f 2 + 2 (an+h)x r y -f c'y 2 = +1. 
Für n sind alle Werthe zu setzen, 
welche zwischen +£iV und — liegen, 
und wo ati 2 -\-2bn + c durch iV theilbar 
ist, und hieraus erhält man dann soviel 
Gleichungen, als die Anzahl dieser Wer 
the beträgt. Ist kein solcher vorhanden, 
so ist die Gleichung nicht lösbar, sind 
dergleicheu vorhanden, so ist jedenfalls 
+1 nicht grosser als die Wurzel aus der 
Determinante, und daher immer die Auf 
lösung durch Kettenbrüche zu bewirken. 
Zu jeder solchen Auflösung ergiebt sich 
dann: 
x~Nx r -\-ny’. 
Sei 
so ist 
h 2 — ac=g 2 , 
ac = (b+g) (b—g), 
also 
(i+g) (b-g) 
a 
eine ganze Zahl. 
Hieraus folgt, dass a sich in 2 Fac- 
toren «, u! theiien lässt, deren einer in 
b-\-g aufgeht, der andre in b—g. Selbst 
verständlich kann aber einer dieser Fac- 
toren gleich Eins sein. 
Sei 
bü? = „, tzl 
so wird: 
um + u!n — 26, 
Sollen aber auch Auflösungen gefun 
den werden, wo x und y keine relativen 
Primzahlen sind, so ist schon oben ge 
zeigt, dass jeder gemeinschaftliche Factor 
von x und y als quadratischer Factor 
in N enthalten ist. Dividirt man also 
durch irgend einen der quadratischen 
Factoren von N, /c 2 , so wird die Glei 
chung : 
ax 2 + bxy-\-cy 2 =N 
sich verwandeln in: 
Findet man hieraus die’ ganzzahligen 
Werthe von p so ist auch x, y be 
kannt. 
17) Die Auflösung der Gleichung 
ax* -\-2bxy+cy 2 =N 
durch Kettenbrüche ist dann nicht mög 
lich, wenn die Determinante eine Qua 
dratzahl ist. 
Die Gleichung 
ax 2 +2bxy+cy 2 = iV 
verwandelt sich in: 
aa’x ' -f-«mxy-i-a'nxy-\-mny - = N 
oder: 
{ax-\-ny) (cc'x-\-my) = N. 
Zerlegt man also N auf alle möglichen 
Weisen in 2 Factoren: v, p f , und setzt 
ux-\-ny~v, a f x-\-my — v', 
so erhält man alle Auflösungen der vor 
gelegten Gleichung, wenn man die sich 
ergebendenden gebrochenen Werthe von 
x und y verwirft. 
Beispiel. Sei gegeben die Glei 
chung 
* -f-lG.ry-t-S^ 2 =55. 
.0 = 64-15=49 
ist hier eine Quadratzahl. 
Es ist 
D = 49, g = 7.