te (Zahlenlehre). 
ihaftliche Theiler if 
in b enthalten ist, 
dies der Fall ist.“ 
Congruenz 
mod 35 
auf 
mod 5 
Vurzel 
= 2 + 5 f. 
Wurzeln der gege- 
also: 
22, 27, 32. 
allgemeine Congruenz 
ben: 
n—1 
+ • ■ * 
-/iE0 modp. 
dass p eine Prim- 
rch p theilbar ist. 
Wurzel dieser Con- 
mch: 
+<7«+äE0 modp 
Ihe von der vorher 
hält man: 
—« ) + •••• 
g(x—cf) E0 mod}». 
mmtliche Glieder den 
man erhält 
re—2 
1-Bx + • • • 
+ G) E 0 mod p, 
Zahlen sind, die sich 
ssen. 
lese letzte Congruenz 
entweder, wenn 
modp, 
Auflösung war, oder 
• + öE0modp ist. 
dieser Congruenz, so 
henso wie oben, auf 
• • *)E0modp, 
renn 
mod p, 
• EOmodp 
o fortfährt, kommt 
Congruenz ersten 
modp, 
rzel haben kann, da 
ich sind. 
Iso der Satz: 
nten Grades, wo der 
und der Coefficient 
rieht durch den Mo- 
öchstens «Wurzeln.“ 
Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 121 Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 
Sind diese n Wurzeln wirklich vorhanden, so kann man setzen 
— n)(x—ß)(x—y) • • • — x + Bx -\-Cx + •• ■ + 0x+II, 
wo «, ß, y die incongruenten Wurzeln der gegebenen Congruenz: 
f(x) = ax l +bx l ! + • • • +p* + /iE0 modp 
sind. Es lässt sich dann immer eine Zahl k so bestimmen, dass 
ka E1 mod p 
ist, denn a und p sind ja relative Primzahlen. Wenn nun noch 
kb^zby, kc = c i • • • kg= 9l , kh = kh l 
ist, so lässt sich zeigen, dass: 
7/E6 15 CECj • • • GEPu //E/^modp 
ist. 
Denn zieht man den Ausdruck r/(x) von kf(x) ab, so erhält man: 
(J> i — B) x n ~ 1 +( c i — C) #”~ 2 + ••• +(g l -G)x+(h l -H). 
Es hatte die Congruenz 
kf{x) E 0 modp 
die Wurzeln «, ß, y . • und dieselben Wurzeln hat auch offenbar die Con- 
gruenz 
1.1 (x) E 0 mod p, 
oder : 
(x— «)(*—ß)( x ~~y) * ’ * = 0modp; 
mithin wird auch die Congruenz: 
(b l ~B)x*~\e l -C)x n ~ 2 + • • '+(g l — G)x-\-(h l —H) — 0 modp 
durch die Werthe 
erfüllt. 
x~ a. x — ß, x — y • • • 
Ist nun einer der Ausdrücke 
b t -B, c t — C, • • • 9l -G, h v -H 
nicht congruent Null nach Modul p, so 
hat man offenbar eine Congruenz von 
einem geringem, als vom wten Grade, 
die dennoch n Wurzeln hat, was, wie 
wir gesehen haben, unmöglich ist, d. h, 
womit unser Satz enviesen ist. 
„Es ist also auch 
kf #) E y (x) mod p 
für jeden Werth von x, da die einzelnen 
Glieder nach p congruent sind.“ 
Noch folgt sehr leicht der folgende 
Satz. 
„Sei 
— 0 mod p 
eine Congruenz wten Grades, p eine 
Primzahl und 
/■(*) = 7 (*)'/'! ('*■'), 
wo der Grad von </ (x) der »ite, von 
rp,(x) der ste ist, so dass: 
= 11 
sein muss. 
Es hat dann die Congruenz 
(f (x) E 0 mod p 
immer m, und 7• 1 («)E0 modp immer 
s Wurzeln.“ 
Denn hätte die erste Congruenz we 
niger als m Wurzeln, so müsste die 
andre um so viel mehr als s haben, 
was nicht möglich ist, da ihr Grad durch 
die Zahl s angezeigt wird. 
Anmerkung. Offenbar kann eine 
Congruenz nten Grades weniger als n 
Wurzeln haben. 
Dies stimmt gewissermassen mit den 
Betrachtungen über die algebraischen 
Gleichungen überein, wenn man in dem 
selben den Begriff des Imaginären nicht 
berücksichtigen wollte. Man könnte 
dann den Satz, dass jede Gleichung 
«ten Grades n Wurzeln habe, auch 
nur so aussprechen, dass die Anzahl 
der Wurzeln die Zahl ( n nicht über 
schreiten dürfe, da ja von diesen Wur 
zeln mehrere oder alle imaginär sein 
können.. 
Es liegt daher der Gedanke nicht all 
zufern , auch in die Theorie der Con- 
gruenzen eine andre Art des Imaginären 
einzuführen, mit dessen Anwendung man 
sagen könnte, dass jede Congruenz 
nten Grades wirklich n Wurzeln (reelle 
oder imaginäre) habe. Dies ist in der