(Zahlenlehre). 
Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 123 Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 
jetzt mit (/(w) die 
welche zu m relativ 
als in sind, 
sind ans der Reihe 
5, 6, 7, 8 
, 7, 8 
also r/(9) = 6. 
;inen Ausdruck der 
in den Artikel Zahl, 
ungen ist derselbe 
edoch bemerken wir, 
‘ imzahl ist, offenbar 
in — 1 
er Reihe 
• m—1 
nfach sind. 
den Ausdruck ax, 
;nen Zahl k relativ 
x alle Zahlen von 
ben sich, wie aus 
ü) Gesagten augen- 
incongruente Werthe 
. Die Reste davon 
also wieder die Zah- 
;doch natürlich in an- 
die der natürlichen 
ist. 
ein Werth von x, 
md zu k relativ ein- 
ner r der Rest von 
so ist auch r relativ 
wir eben gesehen, 
dem x' ein andrer 
in if(k) Werthe von 
Bedingungen, die 
haben, erfüllen, so 
Werthe von r ge 
worden also offen- 
von x r , nur in an- 
(da es nur <j(k) sol- 
upt gibt). 
-k 
on x f , so sind die 
. . • au k 
rthe der Reihe 
. • u k 
nn man das Product 
u t ii 2 --- u^modk 
oder 
a r f № ^ p nrod k. 
Dieser wichtige Satz wird gewöhnlich der 
verallgemeinerte Fermat’sche genannt. 
Beispiel. Da y(!9) = 6 war, so ist 
also 
«' El mod 9, 
wenn « eine zu 9 relativ einfache Zahl 
ist. 
Ist p eine Primzahl, so ist, wie wir 
gesehen haben y(p) — p — 1, also 
a 1 E1 mod p. 
Dieser Satz war früher bekannt, als der 
verallgemeinerte Fcrmat’sche. Er wird 
nach seinem Erfinder der Fermat’sche 
Satz genannt. 
Anmerkung. Der verallgemeinerte 
Fermat’sche Satz gibt ein Verfahren, die 
Congruenz 
ax E b mod k 
für den Fall, wo a und k relativ einfach 
sind, zu lösen, ein Fall, auf den, wie 
schon gezeigt, sich jeder andre zurück 
führen lässt. 
Setzt man nämlich 
x = ba'*M~\ 
so ist offenbar: 
ax E ba' f ^ E b mod k, 
also die Congruenz gelöst. Jedoch er 
fordert die Berechnung von «^ oft 
mehr Zeitaufwand, als diejenige Methode, 
welche die Theorie der Kettenbrüche er- 
gibt. 
Aus dem Fermat’schen Satz in Ver 
bindung mit dem in Abschnitt 5) Ge 
sagten ergibt sich noch Folgendes: 
Sei die Congruenz 
x V *El modp 
gegeben, so hat dieselbe die Wurzeln 
X — l, X — 2, • • • X — p—1, 
also nach Abschnitt 5) 
x 1 — 1 = (x—l)(a; — 2) • • • {x— [p — 1]) modp, 
und wenn man die Coefficienten vergleicht: 
—1 —2 —3 • • • — (p—1)E 0 modp, 
1*2+1*3+ • • • l*p+2*3+2*4 • • • 2*p + • • • +(p—2)(p—1) E 0 modp, 
1*2*3 • • • (p—1)E -1 modp. 
Dieser letzte Satz heisst der Wilsonsche. Er lehrt „dass wenn p eine Primzahl 
ist, das Product der Zahlen, die kleiner als p sind, um Eins vermehrt, durch p 
theilbar sein muss.“ 
7) Wenn die Reihe 
«°, a l , it 2 • • • n l ~* 
nicht 2 congruente Werthe in Bezug auf 
Modul p enthält, und 
d 1 E 1 modp 
ist, so sagten wir (Abschnitt 5), dass a 
zum Exponenten t gehöre. 
Es möge jetzt p eine Primzahl sein, 
und beschäftigen wir uns damit, die 
Zahlen zu ermitteln, die zu einem ge 
gebenen Exponenten t gehören. 
„Es muss zunächst, damit überhaupt 
Zahlen möglich sind, t ein Factor von 
p—1 sein.“ 
Denn die Congruenz 
X 
«El mod p 
kann durch keine kleinere Zahl als durch 
x — t erfüllt werden; offenbar aber wird 
sie auch durch die Zahlen 
x = 2t, x = 31, x = 4: t • • • 
erfüllt. Aber durch keine andern Zahlen, 
denn hätte x noch einen Werth u, der 
nicht in dieser Reihe steckt, und wäre 
lirzsi+tij , wo uj kleiner als t ist, so 
müsste: 
St «(-)-»«! 
a —ci modp, 
also 
« 1 E1 mod p 
sein, was nicht möglich ist. 
Da nach dem Fermat’schen Satze nun 
immer 
P- 1 _ 1 . 
« = lmodp, 
so ist p — 1 nothwendig eine Zahl der 
Reihe 
t, 2t, 3t • • •, 
was zu beweisen war. 
Wenn « zum Exponenten t gehört, so 
erfüllt jeder der Werthe 
x = a°, x = a', x=a ‘* • • • x ~ a 
die Congruenz 
t 
« — 1 modp. 
Aus diesem Grunde aber braucht noch 
nicht jede der Zahlen x~a, wo s zwi 
schen 0 und t — 1 liegt, auch zum Ex 
ponenten l zu gehören, denn möglicher