Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 130 Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 
erhält man 
P—1 
2 _ u 
k — (—1)‘ mod p 
oder 
Ist z. B. k — 2, so sind die Reste r t , 
r,, • • • r 4 die Zahlen 1*2, 2*2 •• • • 
~2~ 
—g-- • 2 selbst. 
Ist dann/? von der Form 4«+l, also 
V — 1 
- 2/t oder grade, so sind eben so 
viel Zahlen der Reihe r t , r 2 • • • klei 
ner als der halbe Modul, als deinen 
grössere vorhanden sind, also 
und 
p — n 
Die Zahl 2 ist also quadratischer Rest 
von p oder Nichtrest davon, je nachdem 
n grade oder ungrade, d. h.je nachdem; 
p von der Form 8 m 4-1 oder von der 
Form: 8 m+5 ist. 
p—1 
Ist dagegen ——— ungrade, also von der 
A 
Form 2n + l, p also von der Form 
4n+3, so ist auch: 
| = 2 n+l+t 
und die Reste, welche grösser als der 
halbe Modul sind, beginnen mit 2(«+l); 
es ist also 
/? = n+l 
und in der Formel: 
ist p grade, wenn n ungrade ist. 
Die Zahl 2 ist also quadratischer Rest, 
wenn n von der Form 2m + 1 oder p 
von der Form 8m+ 7 ist, Nichtrest, 
wenn p die Form 8m-|-3 hat. 
Da man für 8m+7 auch 8m—1, und 
für 8m+5 auch 8 m—3 schreiben kann, 
so ergiebt sich für die Zahl 2 ganz all 
gemein ; 
„Die Zahl 2 ist quadratischer Rest 
aller Primzahlen p von der Form 8m+l, 
Nichtrest der Primzahlen p von der Form 
8m+3.“ 
Im ersteren Falle aber ist die Zahl 
p 2 —l durch 16 theilbar, denn: 
— 1 = (/?+-!) (p —1), 
von diesen Factoren ist jedenfalls einer 
durch 8, der andere durch 2 theilbar. 
Im zweiten Falle dagegen ist p 2 — 1 nur 
durch 8 theilbar, denn einer der Facto 
ren ist durch 4, der andre durch 2 theil- 
har, je nachdem also 2 quadratischer 
Rest oder Nichtrest ist, wird die Zahl 
» s -l 
—5— grade oder ungrade sein und man 
o 
kann setzen; 
pi—i 
8 . 
was der algebraische Ausdruck für den 
eben gefundenen Satz ist. 
Beispiel, (j^) = also 2 
quadratischer Rest von 17, 
= 1) 2S , also 2 ist Nichtrest von 
11. 
13) Wir wollen jetzt mit x eine be 
liebige Zahl, mit E(x) die grösste darin 
enthaltene ganze Zahl bezeichnen, derart, 
dass z. B.: 
e (t)= 2 
15 1 
ist, weil — = 2-f^- ist. 
Wenn man jetzt, wie im vorigen Ab 
schnitte, unter r., r 2 • • • r die Reste 
p—1 
2 
v—1 
der Zahlen 1 • k, 2 • k • • • • k nach 
Modul p versteht, so ist offenbar: 
k = P EÎ~ 
V 
2 k-pEÌ- 
\l 
3 k=pEÎ- 
V 7 
Die Summe der Zahlen a l , a„ • • • 
wollen wir mit A, die Summe von b v 
6o, • • • b mit B bezeichnen. 
p