ZSSSmmn 
m *r. 
ruente Werth gesetzt 
7(1,w) = 7(l, 2*|) =7(2, |)*7(|, 2), 
äte (Zahlenlehre). 
nmt: 
addirt sie zur vor- 
iber nicht mehr der 
infache Zahlen sind, 
2 knni 
m 
s 2kni 
cke s 2 m 2 + t 2 n 2 im 
ler was dasselbe ist, 
« eine ganze Zahl 
mmt: 
2 kni 
mn > 
Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 137 Quadrat. Reste (Zahleulehre). 
Setzt man für s alle Zahlen von 0 bis oder 
n—1, für t von 0 bis to—1, so werden 
nie zwei congruente Werthe Vorkommen. 
Denn wäre z. B.: In ganz einfacher Weise findet man 
sm+tn = s'm-\-t'n mod{mn), 4ie Formel: 
so wäre auch: y-(Ä,«) = y.(Ar, n), 
{s—s') m+(i—i') n = 0 mod (mn), wenn 
was nur möglich ist, wenn s—s' durch AEff modn 
n, t—t' durch to theilbar ist, ein Fall, ist. Die oben gegebene Reihe gab den 
Werth von 7 (1, n), nämlich: 
II) <f {ha 2 , n) = y (A, m), 
der hier nicht stattfinden kann 
Es dürfen also in unserer Summe für 
sm -f- tu nach der Reihe alle Reste von 
7ii7i gesetzt werden, so dass man hat; 
r — tun—1 2kni 
7 {km, n) + ff {kn, m)~ 2 e mn 
7' — 0 
oder: 
I) 7 (&to, n) 7 (/cn, to) = 7 (¿, mn). 
Sei « relativ einfach zu n, so hat man: 
szzn — 1 2 2ha 2 ni 
fj{ha 2 ,n)= 2 e ^ ’. 
s = 0 
y (1, n) = Yn{l+i) 
für den Fall, wo n die Form 4m hatte. 
Ist n aber eine ungrade Zahl, so gibt 
die Formel II, wenn man darin a = 2 
setzt: 
7 (1, n) = 7, (4, n). 
Aus der Formel I aber folgt, wenn man 
k—1, to — 4 annimmt: 
7 (4, w) 7, (n, 4) = 7 (1,4re), 
und da in dem Ausdruck 7 (1, 4u) das 
Für « kann in dieser Formel der Tl ^ Ument die ^geschriebene 
Rest nach n gesetzt werden. Man erhält 
aber als Reste die Zahlen 0,1,2* 
so dass sich ergibt: 
7' — n — 1 %1 2hni 
7. {ha 2 , n) — 2 e n 
r — 0 
Form hat: 
9 (4,«) <f {n, 4) = 2(1+i)]/n. 
Da man in 7 (n, 4) nach Formel III 
für n jeden Werth setzen kann, der nach 
Modul 4 mit n congruent ist, und da n 
ungrade war, so ist: 
(f{n, 4) = 7(1, 4), wenn n von der Form 4,m + 1 ist, 
7 {n, 4) = 7 (3, 4), wenn n von der Form 4,u+3 ist. 
Nun ist aber; 
7T. . n. 
7 (1, 4)=l+e2 +e" 7r +e^2 = 2(14-*) 
und da 7(4, n) = 7 (1, w) war, so ist, wenn w die Form 4« + ! hat: 
7(1, m) 7(1, 4) = 2(1+i)]/n 
oder : 
Dann ist 
7(1, n) = ]/w. 
3 . Q 3 . 
7(3,4)= l+e2 +l + c 2 =2(1—i); 
also wenn n die Form 4^+3 hat: 
7(1, n) 7 (3,4) = 2(1+i)Yn 
und da 
1+•_. 
l-i~ l 
7(1, n) = i]/n. 
Noch ist der Fall zu untersuchen, wo n von der Form 4u+2 ist. 
Nach der Formel I ist: