Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 138 Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 
aber 7^-, * st nac ^ ^ ormc ^ IR gleich 7(1, 2), 
7li 
7(1,2) =l + e =0, 
also ist in diesem Falle 
7(1, n)=0. 
Die vier Werthe von y(l,ri) sind also: 
7(1, n) = (l+i)/«, wenn n von der Form 4u ist, 
7(1,«) = ]Ai, wenn n von der Form 4u + l ist, 
7(1,«)= 0, wenn » von der Form 4a-f2 ist, 
7(1,«)= iYn, wenn n von der Form 4u + 3 ist. 
Die beiden Fälle, wo n ungrade ist, 
lassen sich aber auch in einen vereinigen 
durch folgende Betrachtung. 
Das Quadrat jeder ungraden Zahl hat 
die Form: 
(2»+l) 2 = 4n 2 +4n -j-1, 
lässt also durch 4 getheilt den Rest 1, 
das Quadrat jeder graden Zahl dagegen 
ist durch 4 theilbar. Man kann also für 
ungrade n setzen: 
r/(l, n) = Yn i ^ 2 J t 
denn der Factor von Y n ist 1 oder i, 
je nachdem n die Form 4,u +1 oder 
4</+3 hat. 
In Abschnitt 11 wurde gezeigt, dass 
es in der Zahlenreihe 
1, 2, 3 . . . p-1 
P—1 
—g— quadratische Reste, also ebensoviel 
Nichtreste gebe. 
Die ersteren wollen wir mit 
ö l> tl 2 * • ' a 
v— 1 
2 
die letzteren mit 
h y • • • b 
P~i 
2 
bezeichnen. 
Man denke sich unter a ein bestimm- 
S 
tes Glied der ersten, unter b der zwei- 
ten Reihe, unter a, h beliebige Glieder 
der bezüglichen Reihen. 
Es lässt sich dann zeigen, „dass die 
Ausdrücke a oder b ¿ 5 , wenn man 
darin für a oder b alle Werthe setzt, 
alle Glieder der ersten Reihe, dagegen 
ba s und alle Glieder der zweiten 
Reihe als Reste ergeben.“ 
Denn ist 
und ÜEt s modp, 
so ist auch 
kl~s 2 l 2 modp, 
also kl ein quadratischer Rest von p. 
Hieraus folgt, dass aa s immer ein Glied 
der ersten Reihe als Rest hat, alle Wer 
the von aa g aber sind incongruent, so 
dass sich alle Glieder der Reihe ergeben 
müssen. 
Es ist dann auch ersichtlich, dass 
ba s alle übrigen Reste, also sämmtliche 
Glieder der zweiten Reihe geben muss. 
Der Ausdruck ab s , der ebenfalls immer 
verschiedene Reste für wechselndes a 
gibt, kann keine Glieder der ersten Reihe 
zu Resten haben. Denn wäre: 
<ib s ~ modp, 
so wäre 
a = «' 2 modp, 
da a immer einem Quadrate congruent 
ist, also 
6X 1 = « 2 . 
Nun bestimme man die Zahl z so, dass 
sie die Congruenz; 
zß' E a modp 
erfüllt, so ist auch: 
z 2 ß' 2 E b s a' 2 modp, 
d. h. 
was der Annahme widerspricht. 
Die Grössen ab ? enthalten also alle 
Glieder der zweiten Reihe, und die mit 
ihnen und unter einander incongruenten 
Werthe von bb s die Glieder der ersten 
Reihe, was zu beweisen war. 
Wir verstehen nun in dem Ausdrucke 
7. (/t, p) unter p irgend eine ungrade 
Primzahl. Es ist dann: