Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 140 Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 
Es ist aber h ungrade, also Setzt man h— 8, so kommt: 
A 1 -l = (2s+l) 5 -l = 4s 2 +4s = 4s(s + l), (f(S,p) = <l(?,p) 
also, da entweder s oder s-fl grade ist, nach Formel II und 
so ist A 2 —1 jedenfalls durch 8 theilbar, 
also ist 
(* a -i) (p a -i) • 
immer durch 4 
theilbar, der entsprechende Ausdruck 
ip-iy 
Vi8,p)=ß)i K 2 ' Vp 
(**-1)(P 2 -1) 
nach Formel IV. 
man hat, da 
-2(A-l)(p-l) 
i “ 4 
ist : 
gibt also Eins, und Multipliciren wir jetzt mit 7 (p, 8), so 
ist : 
111 S = 7 p S*7li 
tll 2=1 y (p, 8) y (8, p) = y (1, 8p) = ^ c— 
= (—1) 2 2 s = 0 
' ' und auch 
A—1p—1 
= (-l) 
yfl,8/») = (l+i)|/8 jP . 
Für s = 0 kommt in der vorletzten For 
mel rechts das Glied 1, ebenso fürs = 4; 
Dies ist offenbar das Reciprocitätsgesetz, s = 5, s = 6, s = 7 geben bezüglich die- 
wie es vorhin festgestellt wurde. selben Resultate als s = 1, s = 2, s = 3. 
Ausserdem geben noch s = l, und s = 3 gleiche Werthe, so dass man erhält: 
p^i pni p~i ( ji V 1 4 ji /l+i\^ 4 /l+t\ 
V(P>8) = 2 + 4e 4 + 2e =4e 4 =4\e4 j e 4 = 4(y^j (j/^) 
P-l 
= 41 2 
Setzt man die Werthe von y(p, 8) und ,7(8, p) in die Formeln: 
7 (p, 8) 7 (8, p) = 7 (1, 8p) = (1+i)}/%, 
(w> 
so hat man : 
1 
also: 
p—1 p + 1 
2 ’ 2 
*©* ' J =■©(-« 
8 
p 2 —1 
8 
(I) 
Es ist dies das Ergänzungsgesetz zum Reciprocitätsgesetze, welches man also 
auch durch diese Betrachtungen finden kann. 
Dirichlet hat diesen Betrachtungen indessen noch viel weitere Anwendungen 
gegeben; das Betreffende ist in dem Artikel quadratische Formen, und in den 
daselbst citirten Abhandlungen nachzulesen. 
Wir begnügen uns hier noch eine Formel zu geben, welche in dem ange 
führten Artikel angewandt worden ist. 
Es war 
„2ni 
aber auch: 
da 
7'(A, p) = (^) ^1+2-Te P) 
b 2ni 
7(A,p) = (1+2Je P), 
2 ni 
2ni 
Je P — —1—Je P 
sich ergeben hat.