Full text: Q (5. Band)

(Zahlenlehre). 
Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 143 Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 
Reste der Quadrate 
geschehen, dass 
von s ? die Zahl 
Rest von (s + 1)» 
es einfach auf der 
(s + 1)’. 
Reste von 37 sind 
, 12, 16, 21, 25, 
33, 34, 36. 
15, 17, 18, 19, 22, 
31, 32, 35. 
etzt mit Hülfe des 
die umgekehrte 
nzahlen ist eine ge- 
ier Nichtrest.“ 
3reits gefunden, dass 
wenn p = 4«+l, 
wenn ^ = 4w+3 
der Form 8m+1 ist, 
andern Fällen haben 
Ist q von der Form 4n + l, so ist das 
positive Zeichen zu nehmen, also 
P—1.2 n 
: 1, Und ( — 1) 
= 1. 
Ist q von der Form 4m+3, so ist das 
negative Zeichen zu nehmen: 
4m+1 
: +1, für p : 
4m+3 
und auch 
p—1 q—1 
(-1) 
; +1 für p : 
4« +1 
4m + 3, 
also in jedem Falle 
p—1 9—1 
(f) { - 1)2 2=+1 ’ 
also: 
(*) = (?)■ 
Das Zeichen + bestimmte sich, je nach 
dem <7 = 4m + 1 oder §’ = 4n+3 ist. 
Ist nun p ein quadratischer Rest von 
q, so ist p eine Zahl der Reihe: 
p~qn+a v , yn + ßj, qn + a s '••qn+a p _ i . 
~T 
Ist p ein Nichtrest, so liegt p in der 
Reihe: 
p = qn+b i , qn+b t ,’ • • qn-\-b p _ v 
~2~ 
wo die a und b durch das vorhin be 
schriebene Verfahren leicht zu bestim 
men sind. 
Ist also q von der Form 4n+l, so 
werden auf die ersten Formen sich alle 
Primzahlen bringen lassen, von denen q 
quadratischer Rest, auf die letztem die, 
von denen q Nichtrest ist. 
Ist q von der Form 4m+ 3, so ist 
— q von der Form 4» + l, also in der- 
selben Weise wie oben werden die Prim 
zahlen gefunden, von denen — q quadra 
tischer Rest ist, und wegen 
(|) = (f)(t) 
ergibt sich hieraus das Zeichen von 
Beispiel. Die Primzahlen, von de 
nen 37 quadratischer Rest ist, haben 
also die Form: 
37n+l, 37 m+3, 37n+4, 37n+7, 
37n+9, 37n+10, 37m+11, 37m+12, 
37m+16, 37m+21, 37m+25, 37m+26, 
37m+27, 37m+28, 37m+30, 37m + 33, 
37m+34, 37m+36. 
Die quadratischen Reste von 7 sind; 
l, 2, 4, 
die Nichtreste 
3, 5. 6. 
Die Zahl 7 hat die Form 4m+3: 
—7 ist quadratischer Rest der Prim 
zahlen von der Form 
7m+1, 7m+2, 7m+4, 
Nichtrest der Primzahlen von der Form 
7m+3, 7m+5, 7m+6. 
Diejenigen Zahlen der ersten Reihe, 
die von der Form 4«+1, und diejenigen 
der zweiten, welche von der Form 4m+3 
sind, werden also quadratische Reste 
von 7 sein. 
Offenbar werden die Formen dieser 
Zahlen durch Auflösungen der unbe 
stimmten Gleichungen 
7m+1 —4s+l, 7m+2 —4s+l, 
7m+4 = 4s + 1 
und 
7m+3 = 4s+3, 7m+5 = 4s+3, 
7m+6 = 4s + 3 
gefunden oder durch die Congruenzen: 
7m eO, 7m e — 1, 7m E— 3 mod4, 
7mEO, 7mE — 2, 7mE —3 mod4. 
Man erhält folgende Werthe von n: 
m = 4mi, M=4m+1, m=4>m+3, 
n = 4iM, n = 4»t+2, m = 4»m+3, 
und sonach haben die Primzahlen, von 
welchen 7 quadratischer Rest ist, oder 
die einen Factor von x 2 —7 bilden, die 
Form: 
28m+ 1, 28?m+9, 28/M+25, 28mi+3, 
28>m+19, 28/M+27. 
16) Betrachtung zusammenge 
setzter Z ah len. 
Wir haben bisher vorausgesetzt, dass 
in der Congruenz: 
x 2 E ^ modp 
p und q Primzahlen waren. Es sei jetzt 
L eine beliebige ganze Zahl, jedoch p 
kein Factor von L. Unter p wird noch 
immer eine Primzahl verstanden. 
Wir betrachten jetzt den Ausdruck von 
m 
der =+l ist, 
je nachdem +L quadratischer Rest oder 
Nichtrest ist.
	        
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