(Zahlenlehre).
Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 143 Quadrat. Reste (Zahlenlehre).
Reste der Quadrate
geschehen, dass
von s ? die Zahl
Rest von (s + 1)»
es einfach auf der
(s + 1)’.
Reste von 37 sind
, 12, 16, 21, 25,
33, 34, 36.
15, 17, 18, 19, 22,
31, 32, 35.
etzt mit Hülfe des
die umgekehrte
nzahlen ist eine ge-
ier Nichtrest.“
3reits gefunden, dass
wenn p = 4«+l,
wenn ^ = 4w+3
der Form 8m+1 ist,
andern Fällen haben
Ist q von der Form 4n + l, so ist das
positive Zeichen zu nehmen, also
P—1.2 n
: 1, Und ( — 1)
= 1.
Ist q von der Form 4m+3, so ist das
negative Zeichen zu nehmen:
4m+1
: +1, für p :
4m+3
und auch
p—1 q—1
(-1)
; +1 für p :
4« +1
4m + 3,
also in jedem Falle
p—1 9—1
(f) { - 1)2 2=+1 ’
also:
(*) = (?)■
Das Zeichen + bestimmte sich, je nach
dem <7 = 4m + 1 oder §’ = 4n+3 ist.
Ist nun p ein quadratischer Rest von
q, so ist p eine Zahl der Reihe:
p~qn+a v , yn + ßj, qn + a s '••qn+a p _ i .
~T
Ist p ein Nichtrest, so liegt p in der
Reihe:
p = qn+b i , qn+b t ,’ • • qn-\-b p _ v
~2~
wo die a und b durch das vorhin be
schriebene Verfahren leicht zu bestim
men sind.
Ist also q von der Form 4n+l, so
werden auf die ersten Formen sich alle
Primzahlen bringen lassen, von denen q
quadratischer Rest, auf die letztem die,
von denen q Nichtrest ist.
Ist q von der Form 4m+ 3, so ist
— q von der Form 4» + l, also in der-
selben Weise wie oben werden die Prim
zahlen gefunden, von denen — q quadra
tischer Rest ist, und wegen
(|) = (f)(t)
ergibt sich hieraus das Zeichen von
Beispiel. Die Primzahlen, von de
nen 37 quadratischer Rest ist, haben
also die Form:
37n+l, 37 m+3, 37n+4, 37n+7,
37n+9, 37n+10, 37m+11, 37m+12,
37m+16, 37m+21, 37m+25, 37m+26,
37m+27, 37m+28, 37m+30, 37m + 33,
37m+34, 37m+36.
Die quadratischen Reste von 7 sind;
l, 2, 4,
die Nichtreste
3, 5. 6.
Die Zahl 7 hat die Form 4m+3:
—7 ist quadratischer Rest der Prim
zahlen von der Form
7m+1, 7m+2, 7m+4,
Nichtrest der Primzahlen von der Form
7m+3, 7m+5, 7m+6.
Diejenigen Zahlen der ersten Reihe,
die von der Form 4«+1, und diejenigen
der zweiten, welche von der Form 4m+3
sind, werden also quadratische Reste
von 7 sein.
Offenbar werden die Formen dieser
Zahlen durch Auflösungen der unbe
stimmten Gleichungen
7m+1 —4s+l, 7m+2 —4s+l,
7m+4 = 4s + 1
und
7m+3 = 4s+3, 7m+5 = 4s+3,
7m+6 = 4s + 3
gefunden oder durch die Congruenzen:
7m eO, 7m e — 1, 7m E— 3 mod4,
7mEO, 7mE — 2, 7mE —3 mod4.
Man erhält folgende Werthe von n:
m = 4mi, M=4m+1, m=4>m+3,
n = 4iM, n = 4»t+2, m = 4»m+3,
und sonach haben die Primzahlen, von
welchen 7 quadratischer Rest ist, oder
die einen Factor von x 2 —7 bilden, die
Form:
28m+ 1, 28?m+9, 28/M+25, 28mi+3,
28>m+19, 28/M+27.
16) Betrachtung zusammenge
setzter Z ah len.
Wir haben bisher vorausgesetzt, dass
in der Congruenz:
x 2 E ^ modp
p und q Primzahlen waren. Es sei jetzt
L eine beliebige ganze Zahl, jedoch p
kein Factor von L. Unter p wird noch
immer eine Primzahl verstanden.
Wir betrachten jetzt den Ausdruck von
m
der =+l ist,
je nachdem +L quadratischer Rest oder
Nichtrest ist.