Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 144 Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 
Quadra 
Wir haben bereits gesehen, dass man 
L in seine einfachen Factoren q v , q i ,q a ,,t 
zerlegen und schreiben kann: 
Es ist hierbei zunächst zu bemerken, 
dass jeder Eactor q in dieser Gleichung 
nur in der ersten Potenz vorkommt, in 
welcher Potenz er auch in L enthalten 
sei. Denn die quadratischen Eactoren 
q 1 von L geben ja jedenfalls für 
als Werth +1, können also weggclassen 
werden. 
Was das doppelte Vorzeichen betrifft, 
so nehmen wir für die Primzahlen q von 
der Form 4« +1 das Pluszeichen, für 
die von der Form 4» + 3 das Minus 
zeichen, so dass also nach dem vorigen 
Abschnitt immer: 
(*K) 
ist. 
Damit aber das Zeichen 
von m mit dem von 
(irKirHir)--- 
übereinstimme, ist nöthigen Falls zu dem 
Producte rechts noch —1 hinzuzufügen. 
Wenn wir ausserdem unter q nur un 
grade Primzahlen verstehen, so unter 
scheiden wir 4 Fälle, je nachdem zu dem 
Producte rechts noch die Factoren 
+1, -1, ±2 
hinzukommen. 
I) Im ersten Falle ist nun: 
=(£)£)£)••• 
Dieser Ausdruck aber ist =+1 oder 
= — 1, je nachdem eine grade oder un 
grade Anzahl von Factoren 1^1 vor- 
\q! 
handen ist, welche —1 ergeben. 
Was nun die Primzahl p anhetrifft, 
so kann sie, da sie in keinem der q 
enthalten ist, nur die linearen Formen; 
nq +1, nq + 2, nq+3, ••• nq + q — 1 
haben; dies gibt q—1 Formen für jedes 
q. Von diesen geben ? --- quadratische 
Reste und ebenso viel Nichtreste, und 
comhinirt man diejenigen linearen For 
men, welche p in Bezug auf jedes der q 
haben kann, und welche alle quadratische 
Reste, oder alle Nichtreste sind, so ist 
die Anzahl derselben: 
¿(?i-l)(y a -l)( r /s-l) 
wo h die Anzahl der Factoren q ist. 
Um eine grade Anzahl Factoren ne 
gativ zu machen, können alle bis auf 
den letzten noch immer beliebiges Zei 
chen haben. Gibt man also jedem Fac 
tor bis auf den letzten irgend ein Zei- 
h—1 
eben, so entstehen 2 Comhinationen 
für jede Linearform, so dass man im 
Ganzen jetzt: 
K?l-l)(?2-l)(?S-l) • * * 
Verbindungen hat. 
Da, um die Linearformen zu bilden, 
welche p in jedem Falle hat, die Linear 
formen nq v -\-a, nq 2 +ß • • • zu vereinen 
sind (Abschnitt 3), so werden die Grös 
sen qq 2 , q 3 • • • mit einander multi- 
plicirt, wodurch man das Product L 
erhält. 
Damit dann 
sei, muss p also eine der Formen haben: 
p — Lt-\-A l , Ll-\-A 3 , Llß-A 3 • • •, 
wo die Zahlen A i} A 2 , A 3 , • • • sich aus 
den Linearformen, die vereinigt wurden, 
nach Abschnitt 3 bestimmen lassen. Je 
denfalls aber sind A 15 A 2 , A 3 kleiner 
als L zu nehmen. 
Die Anzahl derjenigen Zahlen, welche 
kleiner als L und zu L relativ einfach 
sind, haben wir oben mit q{L) bezeich 
net, und es ist; 
y(i) = (?.-i)fo»-l)(?.-l) • • •*)• 
*) Diese Formel lässt sich leicht bewei 
sen. Sei ganz allgemein 
m — a a b^c^ • • •, 
wo a, b, c die einfachen Factoren sind, 
cc, ß, y die Potenzen anzeigen, in wel 
chen sie Vorkommen. 
Von allen Zahlen, die kleiner als 
m sind, werden nun durch a theilbar 
sein die Zahlen: 
a, 2a, 3«•••—’ “■ 
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