sste (Zahlenlehre). 
in diesem Falle die 
eben Formen für die 
Nichtreste. 
• suchen alle Prim- 
—15 quadratischer 
Factoren von ic 5 -fl5 
-3-5. 
i 4n + 3,5 von der 
setzt man: 
|) = (f) (I) 
I statt. 
atischen Reste 1, 
atischen Nichtreste 2. 
dien Resten 1, 4, 
chen Nichtresten 2, 3. 
die Fälle, wo 
ren die Congruenzen: 
sEl mod5, 
Werth hat. Da sich 
zahlen zerlegen lässt, 
Verth dieses Productes 
immer bestimmen, 
mserer Annahme die 
aber ist auch: 
m 
lämlich erwiesen für 
eine Primzahl war, 
ein beliebiges P, so 
= Pp, wo p eine un- 
denn es ist 
f) = (-D 
Da der Ausdruck 
mer grade ist, so ist 
Pp—i 
(-1) 2 =(-l) 2 
Es ist also unser Satz durch vollkom- Es wird dies ebenfalls durch vollkom 
mene Induction erwiesen. Denn durch mene Induction bewiesen, indem man 
Hinzufügung von Factoren p kann man wieder P' = Pp schreibt, wo p eine un- 
ja jede ungrade Zahl bilden. grade Primzahl ist: • 
(Pp)*-l-P a + l-p*+l _ (P 1 -1) (p’-l) 
und der Ausdruck rechts ist offenbar grade. 
„Sind P und Q ungrade positive, sonst beliebige Zahlen, so bleibt für sie 
das Reciprocitätsgesetz richtig.“ 
Denn sei zunächst Q — q eine Primzahl, P beliebig, und nehmen wir an, es 
gelte das Reciprocitätsgesetz für ein aus rn einfachen Factoren bestehendes P, so 
Nämlich es ist dann: 
MM 
MM 
P—i q— 1 
2 2 
f , r . 2 M?M> . 
was zu beweisen war. 
Sei jetzt auch Q eine zusammengesetzte Zahl, und Q'z=Qq, wo q eine un 
grade Primzahl ist. Setzen wir wieder voraus, dass für das Gesetz gelte, 
so ist: