152 Quadrat. Reste (Zahlenlehre). 
II) Es soll jetzt A = 2 U sein, wo p 
grösser als Eins ist. 
Offenbar ist die ungrade Zahl — 1 
quadratischer Nichtrest von 2 W , da* 2 +l 
entweder ungrade, oder von der Form 
4m+2 ist. 
Die Congmenzen: 
Quadrat. Reste (Zahlenlehre), 
das Product 
/ ly l 2 . , . mit P 
bezeichnet, so ist 
vi A ) 
2 _ „ 
a — P mod A. 
Wir haben jetzt 3 verschiedene Fälle 
zu unterscheiden. 
I) Es soll A — p oder = 2p sein, E —1 mod2 W , l 2 yE — 1 mod2 |U • • • 
wo p eine ungrade Primzahl ist. lassen gich dann wje oben lösen> und 
Es ist im letztem Falle offenbar: somit die l zu Producten von zweien 
m m vereinigen, die congruent —1 sind, so 
'/(2p )='/(p )> dass man hat: 
wie der Ausdruck für y(A) (vergleiche 
die Note zu Abschnitt 16) zeigt. Nach 
dem vorigen Abschnitt ist aber, da a ,j a 
Nichtrest von A war, immer: 
2 m wird. 
a = — modp . Ist fi grösser als 2, so ist also 
und da a rmgrade war, wird auch sein: 
PE+lmod2“. 
»a—2 
P=(—1) mod2 l 
2‘ 1 
l(£) _ 0^-2 
2 
y(£) 
2 
t z 
V(A) 
2 
-1 mod 2. 
Nur wenn u gleich zwei ist, hat man 
P = — 1 mod2*. 
III) Habe jetzt A die allgemeinste 
Es ist also a +1 durch 2p theilbar, ^ oim > nämlich. 
also A±2rp a Pl a 'p t a * . . ., 
dann ist: 
</W 
2 
E — 1 mod 2p , 
also in diesem Falle immer 
P= — 1 mod A, 
und 
(f(A) n ,u—2 «—1 «j — 1 
= 2 V V j 
Da aber a Nichtrest von p ist, so hat man: 
/<—lp-1 
P = a 
(p-l)(Pi-l) 
l(£) 
2 
t'/O ) P 
a zza 
2 — —1 modp K 
sein kann: 
(ts . 
und da n Rest oder Nichtrest der Primzahlen p,,p.j • • 
t'/ (P* ) Vs *—¿5— — i 1 a 
a =a 2 = ;tlinodp s 
Erhebt man die erste dieser beiden Congmenzen zur Potenz 
2‘ u -V‘- 1 (p l -l)p 2 "’-V-l) • • 
so kommt: 
1(1) 
« 2 = (-l)2‘ U ~ 1 p l “ l_1 (p l -l)pl 2 ~ 1 (p 2 -l) • • • E+lmod p* 
und auf ähnliche Weise folgt aus der zweiten Congruenz: 
<l( a ) 
2 
a E +1 modp s c ' s . 
Quadrf 
Es is 
theilbar 
und auc 
durch A 
p — 0 is 
Setzt 
p>J 
also 
so ergib 
P 
a 
V 
also: 
« 
a 
und 
also: 
d. h. 
a 
Ist A e 
Fall I sts 
und wir 1 
der früher 
21) Di 
Reste fine 
düng in 
Formen, 
chungen z 
liehe über 
in dem A 
gegeben. 
Theorie di 
von Legem 
ständig sti 
ciprocitätsf 
desselben, 
richlet her 
von Jakob 
Crellescher 
erwähnen.