Quadratrix (Geometrie). 154 Quadratrix (Geometrie). 
Fig. 18. 
so ist 
2 r • 
: 7» 
Offenbar ist y positiv, wenn x posi 
tiv und kleiner als r ist. Für x — r 
aber nimmt y die Form 0*oo an, da 
lihr- co ist. Schreiben wir 
J 2 
y~- 
cot 
2r 
und differenziiren Zähler und Nenner» 
um den Werth von y zu finden, so 
kommt 
Г- 
Sei (Fig. 18) ACB ein rechter Win 
kel, AB der zugehörige Quadrant, N 
ein beliebiger Punct in der Peripherie 
desselben. Man zieht CJV, und schnei 
det vom Halbmesser AC ein Stück AP 
derart ab, dass sich AC zu AP verhält, 
wie der Quadrant AB zu Bogen AN. 
Es ist dann offenbar AP dem Bogen AN, 
also auch dem Sector ACN proportional; 
zieht man noch PM senkrecht auf AP 
bis zur Linie CN, so ist M ein Punkt 
der Quadratrix. Denkt man sich die 
Quadratrix wirklich gezeichnet, so lässt 
sich leicht ein beliebiger Sector des 
Kreises ACN' mittels derselben be 
stimmen. 
Man zieht nämlich von Punkt M r , wo 
CN' die Quadratrix schneidet, Linie 
M'P’ senkrecht auf AC, und AP' ist 
dann dem Flächeninhalt des Sectors ACN' 
proportional. 
3) Um die Gleichung der Quadratrix 
zu finden, sei 
AP = x, РШ—y, AC-y, ACN = <f, 
wo unter n die bekannte Länge des 
Halbkreises verstanden wird, und <f in 
Theilen von n gegeben ist. Ausserdem 
aber ist 
y = (r—x)tg(f., 
also auch wegen des Werthes von 7 : 
. nx . . 
y-{r-x)ty~ r -(r-x) lg ax, 
2 r 
gesetzt wird. 
Was die Gestalt der Quadratrix anbe 
trifft, so gehört offenbar zu jedem x nur 
ein y, zu jedem y dagegen unendlich 
viel Werthe von x. 
2r / . nx\* 
\ n 2r/ » 
also wenn man x — r setzt: 
_2r 
y ~ n ' 
Liegt x zwischen r und 2r, so ist y 
noch immer positiv, da dann r—x und 
lg 2 negativ werden. 
Wird aber x grösser als 2r, so hört 
der erste Factor nicht auf negativ zu 
sein, der zweite ist abwechselnd positiv 
und negativ, y hat das entgegengesetzte 
Zeichen dieses Factors. D. h. y wird 
negativ, wenn x zwischen 2 nr und 
(2»+l)r liegt, positiv, wenn x zwischen 
(2m—l)r und 2nr liegt, wo n eine be 
liebige positive ganze Zahl ist. 
Ebenso leicht zeigt sich, dass y nega 
tiv ist, wenn x zwischen — 2nr und 
— (2M+l)r liegt, positiv, wenn x zwi 
schen —(2m—l)r und —2nr liegt. Es ist 
dann nämlich der erste Factor immer 
positiv und der zweite bestimmt das 
Zeichen von y. 
Für x — +2n r wird y = 0, 
d. h, die Curve schneidet unendlich oft 
die Axe der x. 
Für a;=+(2n + l)r wird y=+ co ; 
es tritt also Discontinuität ein. 
Nur der Werth von 
ist in dieser letzten Formel auszuschlies- 
2 f* 
sen, da sich für ihn y—— ergab. 
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y ändert sein Vorzeichen, wenn es 
durch 0 oder durch co geht. 
Bei den letzteren Werthen wird die 
Curve parallel der Ordinatenaxe. Denn 
die Gleichung 
x — +(2M+l)r 
gibt immer y — co. Es stellt also diese