(Geometrie). 
lositiv, wenn x posi- 
s r ist. Für x — r 
Form 0 • со an, da 
üben wir 
cot 
2 r 
Zähler und Nenner» 
on y zu finden, so 
1 
1 
-r setzt: 
2r 
n ' 
i r und 2r, so ist y 
r , da dann r—x und 
össer als 2r, so hört 
nicht auf negativ zu 
st abwechselnd positiv 
t das entgegengesetzte 
ctors. D. h. y wird 
zwischen 2nr und 
itiv, wenn x zwischen 
liegt, wo ii eine be 
ize Zahl ist. 
igt sich, dass y nega- 
zwischcn — 2nr und 
positiv, wenn x zwi- 
ind —2nr liegt. Es ist 
erste Factor immer 
zweite bestimmt das 
2nr wird y = 0, 
chneidet unendlich oft 
1) r wird y = +co ; 
mtinuität ein. 
von 
! iz r 
:n Formel auszuschlies- 
hn V — ~ ergab. 
Vorzeichen, wenn es 
;h co geht. 
ren Werthen wird die 
• Ordinatenaxe. Denn 
: (2n-f l)r 
. Es stellt also diese 
Quadratrix (Geometrie). 155 Quadratrix (Geometrie). 
Gleichung eine grade Linie vor, welche 
sich assymptotisch an die Curve in den 
bezeichneten Puncten anschliesst. 
Die Quadratrix hat somit unendlich 
viel Asymptoten, die alle der Ordina 
tenaxe parallel sind, und sich in glei 
chen Zwischenräumen 2r von einander 
befinden; nur für x~r findet eine solche 
Asymptote nicht statt. 
Suchen wir noch den Werth von 
dx 
Es kommt: 
.TJX 71 
-1 sin h^-(r-a») 
dy _ r 2r 
dx / 71 x\ 1 
\ C0S ~2r) 
Fig. 
Dieser Ausdruck wird, wie es sein muss, 
unendlich, wenn x= +(2«+l)r ist, nur 
für x — r wird er = -||, und durch fort 
gesetztes Diffcrenziiren findet man für 
diesen Werth 
Es wird also in diesem Falle die Curve 
der Abscissenaxe parallel. Da die Ordi 
nate positiv bleibt zwischen zwei Wer 
then, wo sie Null gibt, so findet ein 
Maximum statt. 
Die Gestalt der Quadratrix lässt sich 
nach dem Vorhergehenden leicht bestim 
men. Sie ist die folgende. 
19. 
Gewöhnlich betrachtet man indess nur 
den Theil, welcher von den dem Maxi 
mum zunächst liegenden Assymptoten 
eingeschlossen wird. 
4) Die Quadratrix des Dinostratus ist 
noch merkwürdig wegen folgender Eigen 
schaft. 
„Wenn man über einer festen Linie 
Dreiecke so zeichnet, dass die Projection 
der einen Seite auf diese feste Grund 
linie, zum Gegenwinkel dieser Seite in 
einem constanten Verhältniss steht, so 
bildet der Ort der Spitze des Dreiecks 
in einem gewissen Falle die Quadratrix. 
Fig. 20. 
Sei noch 
In der That lässt sich augenblicklich 
aus dieser Eigenschaft die Gleichung der 
Quadratrix gewinnen. 
Sei (Fig. 20) AB die feste Linie, CB 
die Seite, deren Projection die angege 
bene Eigenschaft haben soll, so war NB 
die Projection von CB. 
Wir setzen CAB = y ; wenn Punkt C 
in A fällt, so wird dieser Winkel ganz 
unbestimmt. Wir setzen ihn dann gleich 
<t; es ist dann 
BN y, 
AB ~a 
AB = r, BN = x, CN-y, 
so ist 
und 
у = (г-ж) lg у , 
also 
71 lf> 
r ~ а 
. . ax 
y-(r-x) lg—. 
r 
Man erhält 
hieraus die Gleichung der 
Quadratrix, wenn man <r = nimmt.