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Quadratur (analytisclie), 158 Quadratur (analytische). 
y (x) dx ~ lim [«y (x 0 + <0 + «y (x 0 +2«) + . . . +ery(*)]. 
und r eine unendlich wenig von der Einheit abweichende Constante, so wird sein: 
. x —r x n 
p 
dx|—iXq Xq — Xq(t 1), dx^^Xq — vxq(i 1), 
p p—i p~ l 
• • dx^—r x 0 — r x 0 ~r x 0 {r—l), 
7 (x) dx - lim (r— l).r ü [y (rx 0 ) + jv/ (r ? .r 0 )+r-y (r 3 x 0 ) + 
. P~i ,P \i 
+r <f(r *„)], 
zwei Werthe des bestimmten Integrals, die allerdings in der Form von einander 
abwcichen. Es lässt sich jedoch beweisen, dass 
„Wenn y (x) auf dem ganzen Integrationswege nicht aufhört endlich und con- 
tinuirlich zu sein, die Wahl des Gesetzes, nach welchem die x auseinander ent 
stehen, keinen Einfluss auf den Werth des bestimmten Integrals ausüht, letzteres 
mithin einen ganz bestimmten Werth hat.“ 
Denn sei: 
U=\im[{x l -x 0 )f(x l ). + (x 1 -x l )f(x i ) + • • • +(\-^ n _ 1 )A(\)] 
V=lim[(y l -y 0 )f(y l )+(y i -y l )f(y i )+ • • • +(y # -y 4 ) 
Setzen wir ferner fest, dass f(x) für Summe, alle zwischen x v und x lie- 
alle Werthe zwischen den Grenzen .r„ ■, «t in ,. u “ 
0 genden Werthe von x enthalt, so muss 
nothwendig ein beliebiges Glied x, der 
und x continuirlich bleibt, dass 
n 
y 1 =«i. y =X 
einen Reihe, einem yder andern Reihe 
sei, so stellen U und V beide ein be- gleich sein. Wir setzen also 
stimmtes Integral von der Form x =v , x , =v , 
r J Q* }' 
,X n ' ' 
f(u)du Die Glieder x jt und x r , sind beliebig der 
•*'o ersten Reihe entnommen, y undy , dem 
vor. Es ist zu beweisen, dass beide angemessen aus der zweiten Reihe, 
denselben Werth haben. Betrachten wir nun die Theile beider 
Da sowohl die erste, als die zweite Summen: 
(*r+l-*r)K*r+l) + (*r+2”*r+l)K*r+2)+ • • • +Cv ^V) 
( ^+i~V / ’ (2/ e+i )+(i 'i>+2 _2/ i'+i )/( ^+2 )+ • • • 1 )/,( V) 
Wenn sich die Zahl r' an r annähert, so wird sich auch (/ an q nähern, und 
die Ausdrücke 
f( x r +])» f( x r +2^ K*r+£ 
ebenso wie 
Ky Q +1)> 2>’ KVq+B* • • • <V } 
werden dem Verhältnisse der Gleichheit immer näher rücken, so dass man für 
die erste Summe auch setzen kann: 
(*r+l-*r + *r+2~*r+l + • • * +X r f “V-1 ) = (V ~ x r) 
Q 
und für 
f(y 
c 
Wege 
sind abe 
gleich, 
Theilen 
gilt, so 
womit uj 
4) B 
von Qu 
Aus d 
man bei 
hungs-Ge 
so hätte 
eine Aufg 
Zahl ist. 
also 
wo r unei 
Man 
auch s sei 
oder, wem 
Der Facto: 
ein Ausdru 
(rn) 611