reihe angehörigen Zahlen beliebig in die 
ser Reihe verrücken, wenn nur ihre Ho 
rizontalstellung dadurch nicht berührt wird. 
Statt daher die Zahlen zugleich nach rechts, 
und nach unten vorschreiten zu lassen, 
ist es uns gestattet, nur nach rechts in 
derselben Horizontalreihe vorzurücken. 
Die Ordnung wird dann die folgende: 
Allgemeine Formel. 
q, <7 —(p —1), g-(p-2), <7-3, 
2p+3, 2p+4, 2p+5, 
p-f-2, p+3, p+4, 
1, 2, 3, 
Zahlenbeispiel für 2«+1 = 5. 
25, 21, 22, 23, 24 
19, 20, 16, 17, 18 
13, 14, 15, 11, 12 
7, 8, 9, 10, 6 
1, 2, 3, 4, 5, 
• • • • 3p, 2p 4-1, 2p+2 
• • • • 2p —1, 2p, p + 1 
P—2, p-1, p 
aus einer Yertikalreihe in die andere 
setzen, wenn wir nur die Ordnung inner 
halb der Horizontalreihen bewahren. Wir 
wählen folgende Anordnung: 
Allgemeine Formel. 
wo in der allgemeinen Formel p für 
2n+l, <7 für ^n + l)'' gesetzt ist. Es 
ist hier nur die Ordnung der Zahlen in 
nerhalb der einzelnen Yertikalreihen ge 
ändert, wodurch die Summe dieser Ver 
tikalreihen nicht berührt wird. Die 
ersten p (im Zahlenbeispiel 5) Zahlen 
bilden die unterste Reihe, über der letz 
ten dieser Zahlen p oder 5 kommt der 
Regel gemäss p + 1 oder 6, also ins 
letzte horizontale Feld , ins erste Feld 
p-\-2 oder 7 und so fort, über 2p oder 
10 kommt 2p+l oder 11, in gleicher 
Weise wird fortgefahren. Die unterste 
Reihe enthält also die Zahlen von 1 bis 
p, die zunächst darüber stehende die von 
p+1 bis 2p u. s. w. Jede Zahl der 
ersten Reihe hat also die Form «, jede 
Zahl der nächsten Reihe die Form /> + «', 
der folgenden 2p+r<" u. s. w,, wo die 
Grössen «, a', a" alle Werthe von 1 bis p 
annehmen. Die Anordnung aber ist, wie 
augenblicklich zu sehen, der Art, dass 
in derselben Vertikalreihe nie dasselbe 
a 2mal Vorkommen kann; es rührt dies 
daher, dass jede Reihe gegen die vor 
hergehende um eine Stelle verschoben ist. 
Da nun jede dieser Verticalreihen aus 
p Gliedern besteht, und in jedem Gliede 
ein anderes cc, also alle Zahlen von « = 1 
bis « = 7 Vorkommen, so ist die Summe 
einer jeden dieser Reihen: 
p+2p + ... +(p — 1) -+1—[—2 -)- 3 -j-.. .+7). 
Die Yertikalreihen haben also in der 
That dieselbe Summe. 
Wir wollen jetzt die Summen derHo- 
rizontalrcihen bestimmen, und können 
aus diesem Grunde die Zahlen beliebig 
2, 2p- 
3, 2p 
p-1, p+1 
P, P+2 
1, p+3 
Zahlenbeispiel. 
2, 9, 11, 18, 25 
3, 10, 12, 19, 21 
4, 6, 13, 20, 22 
5, 7, 14, 16, 23 
1, 8, 15, 17, 24 
Die 1 beginnt unten, 2 steht darüber 
in der ersten Horizontalreihe, wie es 
die Regel verlangt; wir haben uns eben 
nur gestattet, diese Zahl nicht nach rechts 
zu verrücken, was ja nur die 2 in eine 
andre Vertikalreihe bringen würde, wo 
rauf wir jetzt keine Rücksicht nehmen. 
p + 1 oder 6 kommt der Regel gemäss 
in die zweite Vertikalreihe über p oder 
5, p + 2 oder 7 unmittelbar unter p+1 
oder 6 und so fort; es ist klar, dass 
sich nunmehr die horizontalen Reihen 
ganz wie früher die vertikalen aus den 
Zahlen er, p + r/, 2p + «". •• zusammen 
setzen; auch kann dasselbe « nicht 2mal 
in derselben Vertikalreihe Vorkommen, 
denn wie man sieht, springen die Grössen 
1, p-f-1, 2p+l, oder im Zahlen-Beispiel 
1, 6, 11 immer um 2 Felder gegen das 
vorhergehende in die Höhe. Es könnte 
hierbei nur dann eine Horizontalreihe 
2 der Zahlen sp + 1 und Äp + 1 enthalten, 
wenn p durch 2 theilbar wäre; p aber 
Quadrat (mag 
ist nach unsere: 
werden also all 
mal und nur en 
enthalten. Die 
Horizontalreihe 
den Vertikalreih 
Jetzt haben - 
zu untersuchen, 
dass die von 
steigende Diago 
derjenigen p 
Zahlen enthält, 
p 2 ersten Zahlen 
bar: wenn s + 1 
len ist: 
s + 1, 
also ihre Summ 
Es ist aber leie 
P 2 + l 
oder gleich 1 + 
sich also: 
also: 
ps—p+2 
so dass für die 
gebene Summe 
zontalreihen ebe 
Betrachten 
nach Links 1 
Da dieselbe i 
Richtung nach 
der Bildung de 
von p auf ein 
fortschreiten lie 
Zahl aus jeder 
diese Diagonale 
also ebenfalls a 
2p + «" u. s. 
wiesen und auc 
dass jedes « hi 
Indess sieht m 
a + «' + ß" + 
wo für jede d 
grösser als 2«-j 
dig aus, und n 
« + «' + «" + . 
Diese Summ« 
als die Summe 
und Vertikalrei 
ganz wie dort 
wie oben gezei 
That beide Di 
und mit den 1 
reihen dieselbe 
Fall II. Di 
halte eine grad 
sei von der Fo