r (analytische). 
Quadratur (analytische). 163 Quadratur (analytische). 
unserer Beihe, so ist 
iel allerdings schon aus 
ition der Quadraturen 
Wenn man nämlich die Gleichung 
auflöst, wo also A als Function von C zu bestimmen ist, so erhält man: 
£%X £\X 
fix) dx ~ J fix) dx+J f(x) dx ~ j f(x) dx. 
Gleichung : 
x)dx^ = —/(«). 
das Integral f(x) noch 
nach welcher differen- 
c)]dx, 
man auf beiden Seiten 
ens ergibt sich noch, 
ist. Wegen der obi 
nimmt auch der Aus- 
r) dx, 
gegebene Werth von 
Form des bestimmten 
Es fragt sich nur, ob die Gleichung: 
<fW = C, 
7 00 = / f(x)dx 
J k 
gesetzt wurde, immer einer Auflösung 
fähig ist. 
Dies ist, wie leicht zu sehen, immer 
der Fall, wenn 7 (A) eine eindeutige 
Function ist. 
Wir haben nämlich in dem Artikel 
„Quadratische Factoren“ gezeigt, dass es 
immer wenigstens einen Werth von A 
gibt, für welchen eine eindeutige Func 
tion, also auch 
</W-c 
der Null gleich wird, und es muss so 
mit für diesen Werth von A, y(k)~C 
sein. Ist aber 7(A) eine mehrdeutige 
Function, so wird sich dieselbe immer 
aus einer Gleichung: 
f(k, m) = 0 
herleiten lassen, wo f eine eindeutige 
Function von k und u ist, und u - y (A) 
zu setzen ist. Setzt man hierin u- C, 
wo C gegeben ist, so hört /(A, C) nicht 
auf, eindeutig zu sein, und diese Function 
hat eine Variable A, und muss daher für 
irgend einen Werth von A Null werden, 
und für diesen also wird 
7(A ) = C 
sein. 
Es ist jedoch wohl zu bemerken, dass 
der Werth von A, welcher diese Glei 
chung erfüllt, imaginär sein kann. Somit 
sind, um diese Betrachtung völlig durch 
zuführen, noch die Untersuchungen über 
Quadraturen in imaginären Grenzen nö- 
thig, die wir bis jetzt unterlassen haben. 
8) Einführung neuer Variablen. 
Da das Gesetz, nach welchem sich die 
/ ct 
fix) dx 
h 
ändert, ganz beliebig ist, so kann man 
sich x als Function einer andern Varia 
ble y denken. Ist dann x=y(y), so hat 
man 
f(. x ) — V'iy) 
und: 
[ f(x)dx = [<f (y t )—7 iy 0 )\ V'O/ J + [7 (y 2 )~7 0/0] 1% 2 )+...+[7(2/)—7(7 MI ) 
*J lj v v—1 p 
=/>)^V 
Oder wenn man für y{y) wieder x, f(x) Beispiel. Suchen wir z. B. das 
für y>(y) schreibt: Integral: 
/ & />yp dx rß 
f(x)dx~J ^ i{x)—dy. j (a+x) n dx, 
Die Grenzen y 0 und y aber sind so zu so setzen wir x~y—a, also dx~dy\ es 
, , p ist dann: 
bestimmen, dass 
... da für 
a = (fy 0 , o-(f{y P ) 
wird. 
Dieser wichtige Satz lehrt die Inte- . , 
grale durch Einführung einer neuen wird und lur 
Variablen umformen, und ist für die 
wirkliche Ausführung der Quadraturen 
von grosser Wichtigkeit. wird, 
X — Ct, 
y = a+a 
x = ß, 
y-ß+a 
11*