Quadratur (analytische). 168 Quadratur (analytische). 
über einen Theil der Abscissenaxe er 
strecke. 
Wenn aber a, ß, z auch complexe 
Grössen sein können, so stellen « und 
ß beliebige Punkte in der Ebene dar, 
und es ist von « nach ß auf einem be 
liebigen continuirlicben Wege, der 
also immer eine Linie sein wird, fort 
zuschreiten, und dieser Weg heisst dann 
der Integrationsweg *). Offenbar geben 
die Gleichungen 
x-q(u), y = xp(u), 
die Gleichung dieser Linie', wenn man 
daraus u eliminirt. Was die Grenzen 
anbetrifft, so wird diese Linie immer 
durch die zwei Punkte gehen müssen, 
deren Coordinatwerthe a, b und e, f sind. 
Demgemäss sind, wenn die Integrations 
grenzen gegeben sind, die Functionen 
<f (u) und xp{u) zu wählen. Offenbar kann 
man auch u — x setzen, und die Glei 
chung y — ip(x) annehmen. 
Fig. 21. 
Es gibt also zwischen zwei gegebenen 
Punkten A und B (Fig. 21), deren Coor- 
dinaten-Werthe a, b und e, f sind, unend 
lich viel Integrationswege, welcher jeder 
/ ß 
f(z) dz 
ct 
entspricht. Diese Wege sind z. B. AIB, 
AmB, AnB, ApB, AqB • • • Auf jedem 
Wege wird, vorausgesetzt, dass auf den 
selben die Function f{z) continuirlich 
bleibt, das Integral völlig bestimmt sein. 
Ob beim Uebergange von einem Wege 
zum andern, also z. B. von AIB bis 
AnB sich der Werth des Integrals än 
dert, soll bald untersucht werden. 
Welches auch die Werthe von « und 
ß seien, so wird einer der Integrations 
wege immer eine grade Linie bilden, 
welche durch die Punkte geht, deren 
Coordinatenwerthe a, b und e, f sind. 
Die Gleichung dieser Linien wird sein: 
y—b _ x—a 
f—b e—a 
und 
^ f{z)dz~J' f(x+yi) (l + i l J~)dx. 
es ist nämlich 
U — X 
in 
dz _ d(x+yi) 
du du 
zu setzen, woraus sich: 
dz __ .dy 
dx 1 dx 
ergibt. Da aber vermöge der Gleichung 
der graden Linie: 
, f—b, 
y — b -1 (x—a) 
J e—a 
und 
dy _ f— b 
dx ~ e—a 
wird, so hat man: 
/V.)*=(i+ £r»)//{* +i ( J+ ^ (j: - “OK 
Es ist klar, dass jede gegebene Curve, 
etwa ein Halbkreis u. s. w., an die Stelle 
der graden Linie treten kann. 
*) Mit diesem Worte bezeichnen wir jetzt 
nur die Linie, auf der die Werthe 
von z zu suchen sind, nicht das Ge 
setz , nach dem sich x oder u inner 
halb dieser Linie ändert, da letzteres 
keinen Einfluss auf den Werth des In 
tegrals ausübt. 
Als wichtig aber erwähnen wir noch 
den Fall, wo diese Linie in sich selbst 
zurückkehrt, also a — ß ist, wie dies 
z. B. bei einem ganzen Kreise, einer 
Ellipse u. s. w. geschieht. Auch kann 
der Integrationsweg natürlich eine ge 
brochene Linie sein, wo sich dann die 
Form der Gleichungen 
x = (f (u), y = xp(u) oder y = f(x) 
während des Weges ändern muss.