ar (analytische). 
Quadratur (analytische). 169 Quadratur (analytische). 
8 Wege sind z. B. AIB, 
?, AqB • • • Auf jedem 
isgesetzt, dass auf den- 
:tion f(z) continuirlich 
•al völlig bestimmt sein. 
;angc von einem Wege 
so z. B. von AIB bis 
r erth des Integrals än- 
ntersucht werden. 
die Werthe von « und 
einer der Integrations- 
ic grade Linie bilden, 
e Punkte geht, deren 
e a, b und e, f sind, 
eser Linien wird sein: 
h _ x—a 
b e—a 
' f{x+yi)(X+i d £)dx. 
d{x + yi) 
du 
sich: 
:l + i$ 
dx 
r ermöge der Gleichung 
f-b 
(x—a) 
t_b 
e—a 
;r erwähnen wir noch 
e Linie in sich selbst 
« = ß ist, wie dies 
ganzen Kreise, einer 
ischieht. Auch kann 
g natürlich eine ge- 
i, wo sich dann die 
gen 
(u) oder y = f(x) 
s ändern muss. 
^, Function f(x) discontinuirlich, so brau- 
10) Einfluss der Discontmuitat. chen in d y Nähe dieses Punktes die 
Werde jetzt für einen Punkt, der sich aufgestellten Kegeln des Integrirens nicht 
auf irgend einem Wege zwischen den mehr richtig zu sein. Es kann nämlich 
Grenzen der Integration befindet, die in diesem Falle die Reihe 
J f(.*) dx =(* s -K x ,+1 )+ "• 
auch aufhören, continuirlich zu sein. 
Dies findet statt, wenn die einzelnen 
Elemente (x —x ,) f(x ) endlich oder 
s s—1 v s 
unendlich gross werden. Namentlich der 
Satz, dass das Gesetz der Aenderung 
von x den Werth des Integrals nicht 
ändere, hört in der Nachbarschaft dieses 
Punktes dann auf, richtig zu sein, da 
beim Beweise des Gesetzes oben continuir- 
liches Fortschreiten vorausgesetzt wurde. 
Indess ist es nicht unbedingt noth- 
wendig, dass diese Reihe an dem be- 
zeichneten Punkte auch der Continuität 
entbehren muss, da der Factor x —x , 
s s—1 
doch unendlich klein ist, und daher mög 
licher Weise die Discontinuität von f(x ) 
wieder compensiren kann. In diesem 
Falle gelten die Regeln des Integrirens 
noch immer. 
Um sich nun zu überzeugen, ob das 
eine oder andre stattfinde, also ein In- 
tegriren auf diesem Wege möglich sei 
oder nicht, hat man folgendes Mittel. 
pß 
Es sei / f(z)di zu untersuchen. 
J u 
Der Integrationsweg ist eine bestimmte 
Linie, auf welcher sich zwischen den 
Endpunkten a und ß ein Punkt A befindet, 
derart, dass f(A) discontinuirlich wird. 
Statt des obigen Integrals untersuche 
man dann: 
/ 1—6' f, 
f(z)dz+J 
ff. 
ß 
/(*) di, 
worin d und « gar nicht Vorkommen. Die 
Discontinuität von f(k) übt also keinen 
Einfluss auf das Integral aus, und man 
kann dasselbe ganz so behandeln, als 
existire eine solche nicht. 
Wird dagegen der Werth der Summe 
von d und s abhängig, so ist keine In 
tegration auf diesem Wege über den 
Punkt A hinaus, d. h. auf einem Linien 
stück, welches den Punkt A enthält, 
möglich. 
Beispiel. Sei zu untersuchen 
r +ß ±=r + \*-w. 
—a y x —k 
a und ß sollen positive reelle Grössen 
sein, und x immer reell bleiben, d. h. 
es soll die Integration zum Wege die 
Abscissenaxe haben. Offenbar wird 
1 
. ~r=~ co für « = 0. 
Y x 
Man nimmt daher: 
p~d __ t pß _ i 
/ x -dx+ I x ^dx, 
J — K J 
Wir hatten Abschnitt (4): 
,b 
1 (6 S+1 -« S+1 ) 
/ u du — 
a s +! 
also, wenn s=— ^ gesetzt wird: 
d 
wo d und e verschwindend kleine, zwischen 
« und ß liegende Grössen sind. Ist der 
Integrationsweg die Abscissen-Axe, so 
sind cT und £ positiv. Wird nun der 
Werth dieser Summe von d und s un 
abhängig, so kann man offenbar auch 
d = £=0 setzen, und hat 
f ß m d *+, 
Ja J A 
/ 
; ?dx— — 2 [( — cl) T - 
/ ß i i i 
aT*dx = ~Q(ß*—f*). 
+ e 
Offenbar aber ist, bei unendlich kleinem 
d und f, 
(—cf)* = »*=0, 
also: 
/ +ß _i . __i pP _i i i 
x J dx—j x -dx-\-1 x -dxzz—2(ß J —(—«)- 
—a ** —u ■* 0 
und auf dies Integral hat folglich die Discontinuität von -j= keinen Einfluss. 
y x 
)*)