lytische). 
’orm 
’*» 
klein sind, f(k) 
heisst nach Gau- 
jral. 
jral 
lo Grössen sind, 
Weiteres he- 
itimmten Werth. 
igs einen Aus- 
!te Integral, nur 
über den Punkt 
nämlich die Grösse 
scontinuirlich wird, 
Integrationsweg 
in (Fig. 22.) von 
des Integra 
das Integral: 
(*> y) (l v)- 
meinen einen Sinn 
;end eine Function 
man ganz beliebig 
rstehen; für jeden 
eh für 
1 mithin das ganze 
. Wir wollen übri- 
als stets reell vor 
men, dass immer 
Quadratur (analytische). 171 Quadratur (analytische). 
Fig. 23. 
y =7(*)» x =ß 
S S p 
sei. Es ist dann; 
M — (•£i ®o) f( x i> V i)~h (y i yo) f i(®u 2/1) 
+ («,—■*») fip-ry^ + iy-i—yv) f 
+ 
+<VVi ) 
n(*„. V' 
Die Gleichung y = y{x) stellt ganz wie 
oben jedenfalls eine Linie dar, deren 
Anfangs - und Endpunkt bezüglich die 
Coordinaten-W erthe 
x = ct, y = (/{a) und x=ß, y — ( f (ß) 
haben. Sei EC=y [die Ordinate von C, so 
S 
Sei ACB diese Linie (Fig. 23), deren wird derjenige Punkt von AC'B, C', 
Gleichung also y — y(x) ist. Gehen wir welchem dieselbe Abscisse als C zu- 
nun, indem wir die Form der Function kommt, eine Ordinate y +h haben, 
a(x) ändern, zu einer zweiten, der ersten ~ .. 
unendlich nLhen Linie AC'B über, die wenn man CC =* setzt Die Grosse 
jedoch dieselben Endpunkte hat; so ist h wird unendlich klein sein, und sich 
das Integral noch immer von « nach ß s „ , , 
eratrecken. Wir wollen aber a.hei, von P “ nk ‘ m P " nkt “ ndem l K "” d \ 
in welcher Weise sich der Werth des- werden gleich Null sein, da die Grenzen 
selben ändert. « und ß dieselben bleiben. 
Sei u f das Integral auf der Linie AC'B, so ist also: 
u' = (x l —x 0 )f[x l ,y l +h i ]+(y l —y 0 +h i )f[x l ,y l + h l ] 
+{x i —x i )f[x i ,y i +h 1 ]+{y 2 —yi + h a —h 1 )f l [x i ,y 2 +h i \ 
+ , • • • • 
+ (x — x ) f[x ,y +h ] + {y —y +h—h ,)f,[x,y], 
P p—i p p P P p—1 P p—r ,lL p 9 p‘ 
und da 
d K x » V ) 
f[x s ,y+ h s ]=f(x t ,y s ) +~^h s , 
^Íi(® > y ) 
fi[x ,1 y. + A ] =f t {x , V H h 
dy 
zu setzen ist, so hat man: 
u'-u = (x l -x 0 ) d -^^-^h t + (x 2 -x l ) O -^^h 1 + 
+ (■ 
d K x _ r y J 
x —x ) — h 
■ p—1 p— 2 oy p—1 
V P-1 
+ ö,-y.)%^.+ fy.-yO^fA.+ • • • 
< (* 1» y__i) 
,) ^7 A i +h l f l {x l ,y l ) 
p 1 
+Vi _ Vü ) 
dy 
,-l 
+(h % -h l )f l {x„yj+(h i -h i )f(x i ,y i )+ • •• • 
+ Vs 5 f V-i )+ Vi vp. 
df 
da, wenn man Continuität voraussetzt, die Glieder (h —h ,)v—h gegen die an- 
v s s—1oy s s 
dem Glieder in u'—u verschwinden.