agisches oder Zauber-). 
Quadrat (magisches oder Zauber-). 11 Quadrat (magisches oder Zauber-). 
£en Zahlen beliebig in die- 
ücken, wenn nur ihre Ho- 
; dadurch nicht berührt wird. 
Zahlen zugleich nach rechts, 
en vorschreiten zu lassen, 
itattet, nur nach rechts in 
rizontalreihe vorzurücken. 
wird dann 
die folgende: 
<7-2, 
q-1 
2p+1, 
2p+2 
2p, 
p + 1 
p-1, 
V 
rtikalrcihe 
in die andere 
wir nur die Ordnung inner- 
ontalreihen bewahren. Wir 
;le Anordnung: 
gemeine Formel. 
P-1 
P 
?-p— 1 
p +1 
p+2 
p + 3 
r/-3 
?-2 
iahlenbeispiel. 
9, 11, 18, 25 
10, 12, 19, 21 
6, 13, 20, 22 
7, 14, 16, 23 
8, 15, 17, 24 
nnt unten, 2 Steht darüber 
i Horizontalreihe, wie es 
angt; wir haben uns eben 
diese Zahl nicht nach rechts 
was ja nur die 2 in eine 
Ireihe bringen würde, wo- 
t keine Rücksicht nehmen, 
kommt der Regel gemäss 
Yertikalreihe über p oder 
7 unmittelbar unter p-t-1 
so fort; es ist klar, dass 
• die horizontalen Reihen 
her die vertikalen aus den 
ft ', 2p + r<". •• zusammen 
kann dasselbe « nicht 2mal 
Yertikalreihe Vorkommen, 
i sieht, springen die Grossen 
1, oder im Zahlen-Beispicl 
er um 2 Felder gegen das 
; in die Höhe. Es könnte 
dann eine Horizontalreihe 
sp+1 und kp + 1 enthalten, 
i 2 theilbar wäre; p aber 
ist nach unserer Annahme ungerade, es 
werden also alle Horizontalreihen ein 
mal und nur einmal a = 1, « = 2 .. •« = p 
enthalten. Die Summe einer solchen 
Horizontalreihe ist also gleich der bei 
den Vertikalreihen gefundenen. 
Jetzt haben wir noch die Diagonalen 
zu untersuchen. Es ist leicht ersichtlich, 
dass die von links nach rechts hinab 
steigende Diagonale die natürliche Reihe 
derjenigen p auf einander folgenden 
Zahlen enthält, welche in der Mitte der 
p 9 ersten Zahlen liegen; diese sind offen 
bar: wenn s+1 die kleinste dieser Zah 
len ist: 
s + 1, s + 2, . . . s+p, 
also ihre Summe ps + 1 + 2+3 . . . +p. 
Es ist aber leicht ersichtlich, dass s + 1 
, . , p 2 + l p —1 
gleich —g 2~ 
p(p-l) 
2 
=d£=$=i+2+ 
also: 
ps = p+2p+ . . . +(p—l)p, 
so dass für diese Diagonale die oben ge 
gebene Summe der Vertikal- und Hori 
zontalreihen ebenfalls stattfindet. 
Betrachten wir jetzt die von Rechts 
nach Links hinabsteigende Diagonale. 
Da dieselbe sich in entgegengesetzter 
Richtung nach unten bewegt, als wir bei 
der Bildung des Quadrats jeden Cyclus 
von p auf einander folgenden Zahlen 
fortschreiten liessen, so wird immer eine 
Zahl aus jeder der p Gruppen einmal 
diese Diagonale treffen, und sie besteht 
also ebenfalls aus den Zahlen e, p-j-«', 
2p +«" u. s. w. Jedoch ist nicht er 
wiesen und auch nicht allgemein richtig, 
dass jedes a hier nur einmal vorkommt. 
Indess sieht man leicht, wenn p wieder 
« + a' + fi" + . . . = (n+l—2») + (n+l—2n 
+ (/i+l+2) + («+l+4) + ■ 
wo für jede 
oder gleich 1+- 
sich also: 
ist; es ergibt 
+p —1 
gleich 2/t+l gesetzt wird, dass jede 
Reihe von 2/i-f-l Zahlen n Felder tiefer 
als die vorhergehende die Diagonale 
trifft (also für 2n+l = 5 um 2 Felder, 
für 2/i+l = 7 um 3 Felder tiefer), vor 
ausgesetzt dass die unter dem tiefsten 
gedachten Felder durch die am höchsten 
liegenden der Diagonale ersetzt werden, 
wie dies ja unsre Regel verlangt. 
Man sieht dies am leichtesten ein, 
wenn man bemerkt, dass die mittlere 
Zahlenreihe (bei 2/i+l = 5 die Reihe 11, 
42, 13, 44, 15) unsere Diagonale in der 
Mitte trifft, die folgende Gruppe aber 
im äussersten Felde unten, also in der 
That n Felder tiefer; dies findet aber 
allgemein statt, da die Gruppen ja in 
gleicher Weise sich gegen einander ver 
halten. 
Es ist aber auch zu erkennen, dass wenn 
s (2//+1) + « die Zahl einer Gruppe ist, 
welche die Diagonale trifft, (s + 1) (2« + l) 
+ « — (n — 1) die entsprechende der näch 
sten Gruppe, also dafür «' = « — (n— 1) 
sein muss. Dies erhellt ebenfalls augen 
blicklich für die mittlere Reihe, wo a = «+l 
ist, und für die folgende, wo «' die zweite 
ZahlderGruppe, also «'=:2-n+l — (n—1) 
ist; allgemein folgt dies aus dem glei 
chen Verhalten zweier auf einander fol 
genden Gruppen gegen einander. Für den 
Fall wo n—(n—T) negativ wird, ist 
2k + 1 hinzu zu fügen; dies ergibt sich 
daraus, dass eine Zahl, die unterhalb des 
untersten Feldes zu stehen kommen 
würde, oben zu schreiben ist. 
Es möge nun a die der mittleren 
Gruppe angehörende Zahl der Diagonale 
sein, so ist: 
(2n+l) 2 +l 
= n(2n+l)+M+l 
und also das zugehörige « wird gleich 
w+1, die Summe der a aber wird dann: 
2)+ . . . +(«+1 — 2)+ (»»+!) 
■ +(n+l+2ra), 
dieser Zahlen, die negativ wird, 2//+1 hinzuzufügen, für jede die 
grösser als 2/i+l ist, diese Zahl abzuziehen ist, dies gleicht sich jedoch vollstän 
dig aus, und man erhält schliesslich: 
« + ft'+ß"+ . .. = (2//+1) (m+1) ~ 1+2+3+ ... +2«+l = l+2+3 . . . +p. 
Diese Summe ist also genau dieselbe, Aufl. Man thcilt das Quadrat in 
als die Summe der « in den Horizontal- kleinere Quadrate, deren jedes 4 Theile 
« in 
und Vertikalrcihen, hiezu kommt noch 
ganz wie dort p+2p+ . . . +(p—l)p, 
wie oben gezeigt wurde, so dass in der 
That beide Diagonalen unter einander 
und mit den Horizontal- und Vertikal 
reihen dieselbe Summe geben. 
Fall II. Die Seite des Quadrats ent 
halte eine grade Anzahl von Theilen und 
sei von der Form 4n. 
des grösseren enthält, so dass die mitt- 
lern 4 Felder ein Quadrat bilden; nach 
aussen hin werden dann Felder übrig 
bleiben, die nicht im Quadrate unter 
zubringen sind, wie dies das beigefügte 
Quadrat, dessen Seite 8 Theile hat, an 
zeigt. In diese Zeichnung trägt man 
nun von links oben beginnend die Zah 
len in ihrer natürlichen Reihenfolge der-