lytische).
Quadratur (analytische). 175 Quadratur (analytische).
einem mehrfach
l auf dessen Be
it discontinuirlich
die äussere Be-
gral f(fdx+f i dy)
auf die inneren
n, wenn man alle
irchmisst.“
• bemerken, dass
i, dass f und f l
n betrachtet wer-
jstens, wenn sie
he, die in den be-
von einem Werth
n können. Wäre
könnten die über
i Integrale mög-
ene Werthe von
md sich folglich
iirch die obigen
Es wird dieser
erwägen sein.
. letzten Abschnit-
ch Anwendung auf
iplexe Grösse ist,
eg zwischen den
ig genommen ist.
z) discontinuirlich
tinuitätspunkte.
mächst noch das-
he Mehrdeutigkeit
Betracht ziehen.
hat allerdings
egriren ist jedoch
ein bestimmter
ssen. Ist auf der
n
ch Ya = A gege-
elwerth völlig be
ieinen die n W erthe
mkt des Raumes
von einander ha-
eiden Werthe +m
Unterschied = 2«
if dem ganzen In-
von einem Werthe
i, weil sonst Dis-
ürde, bei welcher
jrirens im Allge-
ceit mehr haben,
er Werth von f{d)
metion auf einer
die Function für
mehrdeutige mehr.
Eine Ausnahme bilden nur zwei Fälle.
Der erste findet an den Punkten statt,
wo f{z) schon an sich discontinuirlich ist.
Hier unterliegt die Integration überhaupt
den schon erwägten Schwierigkeiten.
Der zweite wichtigere Fall aber ist
der, wo der Unterschied zweier oder
mehrerer Werthe von f(x) Null wird,
dann nämlich kann unbeschadet der
Continuität ein Werth der Function in
den andern übergehen, und dies ist also
auch auf dem Integrationswege möglich,
wenn sich ein solcher Punkt auf dem
selben befindet. Es tritt dann eine Mehr
deutigkeit ein, und ist dies bei Integra
len, die über solche Punkte gehen, wohl
zu beachten. Wir nennen die letzteren
mehrfache Punkte (doppelte, dreifache
4 _
u. s. w.). Z. B. Y x hat x = 0 einen
vierfachen Punkt, da hier alle Wurzeln
gleich und gleich Null werden. Andere
mehrfache Punkte hat diese Wurzel nicht.
Fig. 26.
Befindet sich aber innerhalb des ge
schlossenen Raumes AB CD (Fig. 26.)
ein solcher mehrfacher Punkt 0, so kann
möglicher Weise, wenn man den Um
fang ABCD durchschreitet, man mit einem
andern Werthe von f{x) nach A zurück
kehren, als der ist, von dem man aus
ging.
Ein Beispiel wird das klar machen.
Sei
f{z)=vz
Die Figur ABCD bilde einen Kreis, des
sen Mittelpunkt der Anfangspunkt der
Coordinaten, also der doppelte Punkt
ist, für den x=y = 0 ist. Sei r der Ra
dius des Kreises, also wenn <f der Cen
tn winkel
X — r COS (fi, y — r Sin (f,
2 = x + yi — re f ,
-i
f{z)=yr=rh 2 \
Wir gehen von dem Punkte A aus, wo
(f~ 0 ist, und nehmen den positiven
Werth von Y&; derselbe wird also sein:
Y& —r*.
Um den Kreis ABCDA zu durchlaufen,
muss man <f von 0 bis 2?r fortschreiten
lassen. Thut man dies, so kommt man
für <f = 2n auf Punkt A zurück und hat
also
,/ "if Tlt Ir
y* =r 2 e = —r*,
also in der That den entgegengesetzten
Worth desjenigen, mit dem man begon
nen hat.
Der Grund ist leicht einzusehen. Wenn
man von Linie AB C durch continuirlichen
Ucbergang zu ADC gelangen will, muss
man das ganze Innere des Flächenstücks,
also auch den mehrfachen Punkt über
schreiten, wobei sich der Werth von
f{z) ändern kann.
„Selbstverständlich ist letzteres eine
Möglichkeit 1 , aber keine Nothwendig-
keit. “
Wir machen hieraus aber einen wich
tigen Schluss auf das im vorigen Ab
schnitt Gesagte. Befindet sich z. B.
innerhalb NKLM (siehe die Figur 25. in
Abschnitt 12) ein mehrfacher Punkt, so
wurde einmal die Strecke CL, dann nach
dem LKNM durchschritten war, auch
LC zurückgelegt, und angenommen, dass
sich die Wege LC und CL weghoben.
Es ist dies aber jetzt nicht richtig, weil
ja bei dem Durchschreiten von LKNM
die Function mit einem andern Werthe
nach L zurückkehren kann, als der mit
welchem begonnen wurde; dann ist das
über CL erstreckte Integralen nicht mehr
das entgegengesetzte von dem über CL
erstreckte. Soll also der in 12) bewie
sene Satz allgemeine Gültigkeit haben,
so ist hinzuzufügen, das sich innerhalb
des ganzen Raumes ABCD, also des
von der äussern Begrenzung cingeschlos-
senen, kein mehrfacher Punkt befinden
darf.
14) Anwendung auf complexe Grössen,
Es ist
nß nß
I <f (2) ch ~ I [ff (x+yi) dx+iif (x+yi) dy].
,ß « a
