nalytische). 
Quadratur (analytische). 177 Quadratur (analytische). 
i gleich der Summe 
egrals für die in- 
Wenn man alle 
htung durchschrei 
mehrfach begrenz 
en Discontinuitäts- 
r ganzen äussern 
i kein mehrfacher 
liese letztere Be- 
i zu modificiren. 
die sich inner- 
düossenen Curven 
uneren Begrenzun- 
jn Satz darum un- 
lann nach Zurück- 
ienden Gurre die 
indem Werthe ge- 
5 anfänglich hatte, 
rer der innern Be- 
so bleibt der Satz 
also derselbe auch 
al auf die äussere 
5t gleich der Summe 
igrenzungen zu er- 
) in dem mehrfach 
ik sich keine mehr- 
uiitätspunkte befin- 
:isen einer der in- 
jr Werth derFunc- 
rird. 
unction — hat kei- 
z 
t, wohl aber einen 
5 = 0, also den An- 
linaten. 
27. 
ABC (Fig. 27.), 
Ipunkt im Anfangs- 
m hat, auf der posi- 
gt, und dessen Ba- 
Es ist dann zu setzen: 
. • »i 
x—r costf, y — r sinr/, 5 = iC+yi = re r , 
dz — dx-{- idy — ritJ 1 dif, 
r ist nämlich constant. Die Begrenzung 
erstreckt sich von 
y=0 bis ff’ — n; 
man hat also: 
rl, r n rief*d<f . P n . 
I — dz = / — — i I da—in. 
J * j 0 re 7* J 0 
Erstreckt man dasselbe Integral eben 
falls von A nach C, aber auf dem auf 
der negativen Seite der y liegenden 
Halbkreise, so ist von y=0 bis 7 = —n 
zu gehen, und man hat: 
f-dzzzi i ^dy = —in, 
J z JO 
also den entgegengesetzten Werth des 
V origen. 
Auf allen Wegen, die von A nach C 
auf der positiven Seite der y führen, 
z, B. AB'C, erhält man das erste Re 
sultat in, dagegen auf allen Wegen 
AD'C, die auf der negativen Seite der 
y liegen, das letztere —in, da zwischen 
ABC und AB'C, ABC und AD'C sich 
kein Discontinuitäts-JPunkt befindet. 
Erstreckt man also das Integral über 
den ganzen geschlossenen Baum AB'CD', 
so erhält man: 
i C n d> f - iC 
Jo J ( 
dtf = 2 ni. 
Durchmisst man also den Baum 2, 3 • • < 
mal, so wird der Werth des Integrals 
2ni, 
2 sni, 
dass also das Integral: j* 
dz 
endlich viel Werthe hat, nämlich 2sni, 
wo s jede ganze Zahl sein kann, positiv 
oder negativ, je nachdem man den Um 
fang ABCD in einer oder der andern 
Richtung durchschreitet. 
Anm. Das bezeichnete Integral 
r K rf5 
J 1 * 
gibt, wie wir bald sehen werden, den 
Logarithmus von « und ist dieser in der 
That vieldeutig. 
15) Unbestimmte Integrale. 
Da jedes unbestimmte Integral sich 
nach Bestimmung der Constanten als 
ein bestimmtes betrachten lässt, so er 
streckt sich die Anwendbarkeit des in 
den vorigen Abschnitten Gesagten auf 
alle Quadraturen. 
Zu genauen Untersuchungen ist das 
selbe unentbehrlich; es war deshalb nö- 
thig mit den Grundzügen der Theorie 
der bestimmten Integrale zu beginnen. 
Wir verlassen dieselbe jetzt auf einige 
Zeit, um uns zu den unbestimmten In 
tegralen zu wenden. 
Da yf{x) dx = C’+y* f(x)dx ist, so 
kann man aus einem bestimmten Inte 
grale leicht das unbestimmte finden, wenn 
man eine willkürliche Constante hinzu 
zählt. Enthält das bestimmte Integral 
ein Glied, das nur von der untern Grenze 
« abhängt, so kann man dies in der 
Constante mit inbegriffen denken, und 
also weglassen. Wir fanden z. 33. in 
Abschnitt IV.: 
/: 
s+l i+1 
x dx~- 
s + l 
Es ist also: 
/ 
x dx = C+ 
s+1 
x 
s+T 
Selbstverständlich kann man die Con 
stante C immer weglassen, da dieselbe 
sich immer wieder ergänzen lässt. Nach 
dem eben Gesagten gestalten sich die 
in Abschnitt 8 bewiesenen Formeln jetzt 
folgendermassen: 
ff{x)dx-ff\x)^dy. 
Das durch sie gegebene Integrations 
verfahren heisst: „Einführung einer neuen 
Variable.“ 
fydx-xy -/xdy, 
wo das von der unteren Grenze abhän 
gige Glied in der Constante mit einbe 
griffen, und wcggelassen ist. 
ff{x) ifi{x) dx = f{x)fifj{x) dx 
~f If 1 K X ) dx ] f{r)dx. 
Dieses Integrationsverfahren wird auch 
„theilweises Integrircn“ genannt. 
Bei der wirklichen Berechnung von 
Integralen werden wir uns der unbe 
stimmten Integrale bedienen. Hat man 
ein unbestimmtes Integral 
f f{x)dx~C+(f{x), 
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