inalytische). 
lie Aenderung der 
cksichtigung finden 
idlich. 
folgende Integrale; 
^1 
= s+1* 
ilt für jeden Werth 
e von s — —1; wo 
o seine Bedeutung 
utegral 
*1 
n 
dx 
i allgemeinere auf 
wieder : 
filmen. Dann wäre 
ßP-l af*—1 
fi 
ruck gibt bekannt- 
g« 
ann man auch folg- 
1 
x 
ix 
X " 
dx rß dx 
+ I « * 
2 sn 
L3), so folgt hier 
Quadratur (analytische). 179 
aus sogleich die Mehrdeutigkeit der Lo- dies wird die Form haben: 
garithmen. Ist Log (x) der allgemeine, /• */ x \ 
lo-(x) ein einzelner Werth eines solchen, / —\-idx, 
so hat man: ' 1 W 
wo /’(x) und (f (x) ganze Functionen von 
x sind. 
Lg (x) = lg (x)+2sui. 
Quadratur (analytische). 
Foni 
A.. 
ganze F 
m 
16) Integration der rationalen „ 
Function en Wie auch, der Ausdruck —beschul- 
Suchen wir jetzt die Integrale der ra- fen sei, so lässt er sich durch Division 
tionalen Functionen überhaupt. Ein sol- in einen andern von der Gestalt: 
+ A 
n—1 
n—1 
x + A 
n~ 2 
+ 
A 0*0 
7 (») 
verwandeln, wo die höchste in /q(x) enthaltene Potenz von x niedriger ist, als 
die höchste in (f (x) enthaltene. Bezeichnen wir den entwickelten Theil mit i/<(x), 
so ist: 
./ =J 'X* )dx + fw) da! 
4—2^ +A 0 x, 
/(*) 
und 
(r-1) 
c O 
1 
(x —ßj) (x~«j) 
Cs„ — l 
Cs.-2 
S„ 1 
(x —« 2 ) 
(x—Cf.) 
(x-Cf 2 ) 
Hs -1 
//s 
(x —ß ) p 
p 
Die Ausdrücke 
B 0 , Bi * * ’ Bs lt C 0 • • • Cs a , H 0 
sind Constantcn, die sich leicht bestimmen lassen. 
... A n «+1 An-1 w , An-2 "- 1 , 
xp (x) dx — —— r x fi x fi —x + 
r w n + l n n—1 
wo die willkürliche Constante fortgelassen ist. 
Was den Ausdruck 1 ; -{ anbetrifft, so lässt sich der Nenner in Factoren 
7 A) 
zerlegen (siehe den Artikel: quadratische Factoren), so dass man hat: 
? (x) = (x-K,/ 1 (x-« 2 ) Sj (x-Cf 3 ) Ss .... (x—cc p ) s p, 
wo s t , s s , s s • • * s p ganze positive Zahlen, a lt « 2 , a 3 • • • a p Constantcn sind, 
die jedoch auch imaginär werden können. 
Sind jedoch die Coefficienten von f/(x) alle reell, so kann dies Product nur 
reelle n, und solche imaginäre haben, die sich zu zweien derart entsprechen, dass 
wenn der eine die Form a + b i hat, der andre die Form a —b i haben muss, 
n n 11 n 
und die entsprechenden Exponenten s bei beiden gleich sind. (Siehe den Artikel: 
quadratische Factoren.) Man wird dann auch haben: 
(x—ß —b if n (x ~a + 6 i) s,l =[(x—ß ) , +fi s j S 
' n n' ' n n n' w n J 
Ein quadratischer Ausdruck, der nichts Imaginäres mehr enthält. 
Es ist nun (siehe den Artikel: Zerlegung der Brüche): 
Bs v t Bs l — \ t Bs l — 'i 
7■(*)'