aagisches oder Zauber-). 
Quadrat (magisches oder Zauber-). 13 Quadrat (magisches oder Zauber-). 
r die vorhin übergangenen 
m zugehörigen Zahlen aus- 
15 
J4 
4 
6 
7 
9 
10 
11 
5 
3 
2 
i6 
hleiben fort, weil die ent- 
elder schon ausgefüllt sind. 
5 beifolgenden Zauberqua- 
64 Elemente. 
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58 
8 
53 
52 
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47 
17 
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12 
54 
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9 
60 
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3 
2 
64 
135 
134 
12 
22 
23 
121 
34 
35 
109 
99 
98 
48 
87 
86 
60 
70 
71 
73 
82 
83 
61 
51 
50 
96 
39 
38 
108 
118 119 
25 
130 131 
13 
3 
2 
144 
Beweis der Regel. Zunächst 
sieht man augenblicklich, dass beim 
Schreiben der ersten Hälfte der Zahlen 
bereits beide Diagonalen ausgefüllt sind, 
dass sich also in ihnen dieselben Zahlen 
befinden, welche darin enthalten sein 
würden, wenn man die natürliche Zah 
lenreihe in Form eines Quadrats schriebe. 
Ist p die Anzahl der Thcile der Seite, so 
werden diese Diagonalen von den Zah 
len: 1, p+2, 2p + 3, 3/>+4 .. -p . p und 
von : p,2p — 1,3p— 2,4p—3.. . (p —l)p+l 
gebildet. Die Summe beider arithmeti 
schen Reihen ist aber gleich: (1 + 2+... 
+ p — 1, P+1 + 2+3+ . . . p, ganz wie 
schon bei Fall I. die Summe der einzel 
nen Reihen des Quadrats angegeben wurde. 
Was nun die Horizontal- und Verti- 
kalreihen anbetrifft, so wollen wir 2n = s 
und die (2s) 2 ersten Zahlen wirklich in 
der Form eines Quadrats geschrieben 
denken, also 2s in jede Horizontal- und 
Vertikalreihe. Je zwei Reihen (vertikale 
oder horizontale), welche von den Seiten 
des Quadrats gleichweit abstehen, mögen 
entsprechende Reihen heissen, also die 
kte und die 2s — /t+lte; wenn man dann 
die Hälfte der Zahlen einer (horizontalen 
oder vertikalen) Reihe mit denjenigen 
der entsprechenden Reihe vertauscht, 
welche so weit vom Ende entfernt sind, 
als die ersten vom Anfang, so haben 
alle Reihen gleiche Summen. Denn die 
kte Reihe ist: 
. 2(k—1) s+2s—1, 2hs, 
2(ft-l) s + 1, 2(/i—1) s+2 . . . 2(/£-l) s+i 
die entsprechende, also 2s — /i+lte: 
2(2s-h) s+1, 2(2s-h) s+2 . . . 2(2s-k) s+2s-i+l 
2(2s—ft+1) s. 
. 2(2s-k) s + 2s —1, 
Die Summe zweier beliebigen Glieder 
beider Reihen, die gleich weit von den 
Enden stehn, ist: 4s 2 + l, also die Summe 
jeder der beiden Reihen 2s (4s 2 +1). 
Es ist aber leieht zu sehen, dass hei 
unserm Verfahren diese Vertauschung 
sowohl für die vertikalen als für die 
horizontalen Reihen vorgenommen ist, 
woraus die Richtigkeit des Verfahrens 
folgt. 
Fall III. Die Theile der Seite des 
Quadrats seien grade und von der Form 
4n+2. 
Au fl. Die Auflösung beruht auf den 
selben Prinzipien, als die des vorher- 
gehnden Falles, ist jedoch complicirter. 
I. 
1 
1 
2 
¥ 
T 
5 
6 
2 
T 
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6 
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II 
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1 
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2 r 
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9 
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100