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(analytische). 
Quadratur (analytische). 193 Quadratur (analytische). 
- a). 
: COS ff , 
)S ff 
ff• ff 
2 C0S 2’ 
=asin(|) . 
= -tg|. 
, rctg(tg|) = -| 
*)■(-!)=* 
fi z= arc sin v 
= arc sin(c). 
ler Erwähnung, dass 
auch durch Differen- 
arc sin (i;) herleiten 
r, wie schon im Vo- 
auaren möglichst unah- 
Ergehnissen der Diffe- 
jcstellt worden. 
21) Integration transcendenter 
Functionen. 
In dem Gegebenen ist das Allgemeine, 
was sich über die Ausführung der Inte 
grationen algebraischer Functionen sagen 
lässt, erschöpft, insofern sie durch die 
vor Entdeckung der Integralrechnung be 
kannten Functionen geschehen kann. Je 
doch können in einzelnen Fällen noch 
Integrale von irrationalen Ausdrücken 
complicirterer Art gefunden werden. 
Wir werden daher auf diesen Gegen 
stand zurückkommen müssen. Zunächst 
wollen wir jedoch das Allgemeinere, was 
sich über die Integration transcendenter 
Functionen sagen lässt, hier geben. Die 
vor der Entdeckung der Integralrechnung 
bekannten Transcendenten beschränken 
sich auf Exponentialgrössen und Loga 
rithmen, trigonometrische Functionen, und 
die zu letztem gehörigen Bogen. 
Von diesen stehen jedoch die Expo 
nential- und logarithmischen Grössen in 
der durch die Gleichung 
lg x 
e ° —x 
gegebenen Verbindung, 
Die Verbindung zwischen trigonome 
trischen und Exponentialfunctionen wird 
vermittelt durch die Gleichungen: 
Offenbar ist, wenn man sich « ver 
änderlich denkt: 
de cav 
T - xe ' 
da 
,2 ax 
d" e 
dx" 
,n ax 
de n ax 
— X e , 
da 
Man kann also auch schreiben: 
,7i, ax- 
fx n e KX dx=f^~+dx. 
_ (' d” (e KX ) 
d« n 
In Abschnitt 6) wurde nun die For 
mel abgeleitet: 
jU 
Je' 
aus der hei Wiederholung des Differen- 
ziirens nach c sich leicht folgern lässt 
oder 
e = cosar + i sin x 
(/«*• *) =/ 
ler bei Wiederholung des Differe 
s nach c sich leicht folgern lässt 
afa*, c)ix ) = f^A ix , 
lc J J de 1 
Iso in unserm Falle: 
j'x n e ax dx — j ßC<X dx^. 
2xi l-fttg.r 
e — j . 
1—i tg x 
und die zwischen Bogen und Logarith 
men mithin, wenn man x = arc tg u setzt, 
durch die Gleichung: 
. 1 , l-f-itga: 
2i 1—itgx 
und, wenn man a; = arc sin (m) setzt, durch 
die Gleichung: 
arc sin u ~ i lg[/l —11' +«m] 
oder, wenn x — sxc. cos u gesetzt wird, 
durch die Gleichung: 
Kann man also den Ausdruck 
u—J'e ax dx finden, also für den Fall, 
wo 7i — 0 ist, so ist die Quadratur für 
Beliebiges n auf die Differenzialrech 
nung, nämlich auf Bestimmung des 
d n u 
Ausdrucks zurückgeführt. 
da 1 
Wir setzen: 
-Vf 
— \ lg [m + i]/l—M 5 ]. 
Es kann daher bei den entsprechenden 
Functionen ein gemeinschaftliches Ver 
fahren eingeschlagen werden. 
Sei zunächst zu bestimmen 
also 
also 
Es ist also; 
/ 
n ax , 
x e dx, 
wo « eine beliebige Constante ist, »t 
aber eine positive ganze Zahl. 
f 
dy = ae nX dx — aydx, 
dxJ-l, 
ay 
i P ^ 
aJ a a 
( ctx\ 
_ v). 
n ax j 
x e dx~ 
da