(analytische). 
Quadratur (analytische). 197 Quadratur (analytische). 
x unmittelbar ßi für a 
sin ßx'j 
er die Fälle zu unter- 
f cos ßx\ 
V~ß~) 
( sin ßx\ 
ihenentwickelungen für 
ische Function, welche 
werden kann. 
2 i 
ien von e sind, so 
i auch 
x, cos ex) dx 
eine rationale Function 
bedeutet; auch können 
ionszeichen die andern 
Linien von ax enthal- 
i sich auf rationalem 
nus und cosinus durch 
sin x cosa: 
tga:= , cot x = 
secx = ■ 
sin a: 
1 
gleichen Substitutionen, wo es sich um 
Aenderung des Integrationsweges han 
delt, immer gestattet, so lange das In 
tegral ein unbestimmtes ist. Bei be 
stimmten Integralen dagegen ist die Be 
rücksichtigung der Grenzwerthe nöthig. 
Was unser Integral 
f f (sin ax, cos «a:) dx 
gemacht wird, so muss u und du ima- anbetrifft, so führt jedoch auch eine 
ginär werden. Es ändert sich also der andre Substitution zum Ziele, wobei der 
Integrationsweg. Jedoch tritt hierbei Integrationsweg nicht verändert wird, 
keine Zweideutigkeit des Resultats ein, Man setze: 
wenn der Ausdruck f(u) nicht während sin ax = y, 
der Integration, oder beim Uebergang eg w j r( j ^ aim 
von einem Wege zum andern unendlich 
wird. 
cos x 
1 
, cos ec x — —— 
cosa: sinx 
ergeben. 
Da aber hier die Substitution 
axi_ , 
e —u 
Es ist also die untere Grenze immer 
so zu wählen, dass dies nicht stattfindet, a j so 
und kann man dies immer annehmen, 
so lange das Integral unbestimmt ist. 
Diese Bemerkung ist für die ganze In 
tegralrechnung wichtig. Es sind der- und 
//■(si 
sin ax, cos ax 
= if 
a cos axdx — dy, 
cos ax = Yl —y 11 
, dy 
dx — , ; 
aYl-y' 
fjy^l-y^dy 
Vi 
ein Ausdruck, der ausser einer rationa 
len Function nur noch eine Wurzel zwei 
ten Grades enthält. 
Von gleicher Allgemeinheit ist übri 
gens das Integral 
J sin«, cosx)dx, 
da man für ax immer eine neue Varia 
ble nehmen kann. 
Von besonderer Wichtigkeit ist der 
Fall, wo die Function f nur ein Glied 
enthält. Es führt dieser Fall zu den 
Integralen: 
_ . »» 
rs 
die 
y 
sogleich 
gesprochen werden 
/ 
m n , 
sin x cosx dx, 
•sin « 
über 
soll. 
Vorläufig bemerken wir jedoch, dass 
im allgemeineren Falle des Integrals: 
f /'(sin x, cos x) dx 
es auch eine reelle Substitution gibt, 
welche keine irrationale Grösse gibt. 
Es ist dies die Substitution 
tg£ar = M. 
Da 
digx—- 
dx, j- 
cosx 
dx 
sm x 
1 
m 
ist, so hat man: 
du — 
und, da 
'(cos a:) 2 
dx 
2 (costar) 3 
ist: 
(costar) 
: = (sec £ x) 2 = 1 -f (tg £ a:) 2 = 1+u» 
dx — 
2 du 
1 + M 2 
cos a? = 2(cos^a:) a — 1 = 
1-f M 
,-l = 
2m 
1+m 2 
also: 
/ № “*' l+^/I+p- 
1+M 4 ’ 
1—m 2 \ du