Quadrat (magisches oder Zauber-). 14 Quadrat (magisches oder Zauber-). 
Quadrat (magis 
Man ordnet zunächst alle Zahlen von 
1 bis (4«+2) 2 in eine quadratische Form, 
derart, dass die 1 das erste Feld links 
oben inne hat, wie dies hier für die 
Werthe n — 1 und n = 2 geschehen ist. 
Die links geschriebene vertikale Ziffer 
reihe zeigt die Ordnungszahl der horizon 
talen Spalten an, während die Ordnung 
der vertikalen Spalten durch die erste 
Zifferreihe bestimmt ist. Durch die Ver 
einigung zweier dieser Ordnungszahlen 
ist dann jedes Feld und die darin be 
findliche Zahl bestimmt, so nimmt z. B. 
in der ersten Figur die Zahl 28 das 
Feld (4, 5) ein, d. h. sie ist die vierte 
Zahl in der fünften Yertikalreihe. 
Nun bilde man folgendes Schema, das 
aus 2n-)-l Zeilen und 2«+l Vertical- 
columnen besteht. 
In die erste Columne kommen alle 
Zahlen von 1 bis 2u-)-l und neben ihnen 
ihre Ergänzungen zu 4n-(-3. Die erste 
horizontale Reihe wird gebildet, indem 
man neben 1 noch n+1 der übrigen 
Glieder als Anfangsglieder der Columnen 
schreibt, diese Columnen werden dann so 
ausgefüllt, dass unter dem Anfangsglied 
die folgenden in der Ordnung, wie sie 
in der ersten Columne stehen, sich be 
finden, indem man das erste Glied als 
auf das letzte folgend betrachtet. 
Die in der ersten Columne befindlichen 
Zahlen werden mit den horizontalen, die 
der übrigen mit den vertikalen Ordnungs 
zahlen der Columnen in I. und II. iden- 
tificirt. Die Glieder unserer Quadrate I. 
und II., welche dann durch die Verbin- 
dung einer der Zahlen der ersten Co 
lumnen aus unserm Schema mit einer 
der beiden in der letzten Columne be 
findlichen Zahlen in derselben Zeile be 
stimmt sind, haben wir durch einen Strich 
unter der Zahl bezeichnet, diejenigen, 
welche durch Vex-bindung einer der Zah 
len der ersten Columne im Schema mit 
einer daneben stehenden der vorletzten 
Columne bestimmt sind, wux-den mit 
einem Strich oberhalb vei'sehen. Dieje 
nigen Zahlen der Quadrate, welche der 
Verbindung einer Zahl der ersten Co 
lumne mit einer danebenstehenden ir 
gend einer andern im Schema (mit Aus 
nahme der letzten und vorletzten Columne) 
entsprechen, sind mit hervorstechender 
Schrift gedruckt. Dies wird sich durch 
Vergleich der Quadrate I. und II. mit 
den hier beigefügten beiden Schema ex 1 - 
geben. 
Hier ist z. B. in Fig. II. 51 mit dem 
Strich unterhalb versehen, weil sie der 
Coxnbination (1,6) aus der letzten Columne 
als Schema entspricht, 76 hat den Strich 
Schema zu Fig. I. 
1 6 
2 5|3 4 
2 5 
3 4jl 6 
3 4 
1 62 5 
Schema zu Fig. II. 
1 10 
2 9 
4 7 
5 6 
2 9 
3 8 
5 6 
1 10 
3 8 
4 7 
1 10 
2 9 
4 7 
5 6 
2 9 
3 8 
5 6 
1 10 
3 8 
4 7 
oberhalb, weil die Combination (6,8) aus 
der ersten und vorletzten Spalte entnom 
men ist, 68 ist fett gedruckt, weil die 
Combination (8,7) von der ersten und 
zweiten Spalte des Schema herrührt. Das 
Quadrat enthält nun 4 Arten Zahlen, 
mit denen man folgendermaassen verfährt. 
1) Die weder gestrichenen noch fett ge 
druckten behalten ihren Platz. 2) Von den 
oben gestrichenen vertauscht man je vier 
zusammengehöx’ige, d. h. welche von den 
einander gegenüber liegenden Seiten des 
Quadrats gleich weit entfernt, wenn sie 
a • • • b 
die Stellung _ _ haben, derart, dass 
c • • • d 
d • • • c 
ihre Stellung ] _ wird. 3) Von den 
a • • • h 
unten gestrichenen wei'dcn immer 4 zu 
sammengehörige so vertauscht, dass sie 
a • • • b 
aus derStellung ’ [ in die Stellung 
d 
h 
in 
h 
c • • • d 
• • a . 
übergehen (statt dessen kann 
• • c 
c • • • d 
2. auch Stellung _ in 3. 
a • • • b 
• • c 
genommen werden). So z. B. 
verwechselten in 
dienen Zahlen 
< 
98 
dass daraus 
3 
hen die unten gest 
66 • • 35 
in * " üb 
36 • • 65 
zeichnete Stellun 
fett gedrackten 7 
in Fall II. erset 
die natürliche Zi 
aber von rechts 
Der Beweis 
auf denselben Pi 
Fall II. Auf die 
den nämlich in 
Vei’tikalreihe die 
die Zahlen der ei 
setzt; der Untei’si 
ist indess der , d 
benden Zahlen 
halb ihrer Reihen 
die Summen nid 
behalten die Du 
welche sie in der 
einnehmen, und 
oben in Fall II. 
a • •