rate (Methode der kleinsten). Quadrate (Methode der kleinsten). 19 Quadrate (Methode der kleinsten). 
eser Satz vielleicht unmittelbar 
a, für den Fall, wo n~2 ist, 
F ormel 
f-c\+r~c^o 
en nur aus, dass beide Beoh- 
ihler (abgesehen vom Zeichen) 
i. Ist nun, wie man doch an- 
ann, irgend ein Beohachtungs- 
wahrschcinlichste, so ist auch 
¡cheinlichsten, dass man einen 
bei jeder der beiden Beohacli- 
macht habe, und da nicht an 
ist, dass beide Fehler dasselbe 
ahcn, da eben so gut nach einer 
der andern Seite eine Abwei- 
igiich ist, so sind sie mit ent- 
tzten Zeichen zu nehmen. In- 
it diese Betrachtung findet keine 
ig mehr, wenn n grösser als 2 
empfiehlt sich also aus diesem 
len Werth für die Wahrschein 
es Vorkommens eines gegebe 
ne noch auf eine andere Art 
. Wir thun dies nach Hagen 
^e der Wahrscheinlichkeitsrech- 
17). Die Schlüsse, welche der 
art, sind folgende: 
leobachtung besteht aus ver- 
i Manipulationen, und man 
Allgemeinen die Anzahl dersel- 
sehr gross betrachten, um so 
t jede Manipulation wieder in 
ad zwar so viel man deren will, 
erden kann. Aus jeder dieser 
;ioncn ergicht sich ein Fehler, 
dlgemeinen als sehr klein an- 
a werden muss ; aus der Summe 
den kleinen Fehler setzt sich 
• ganze Beobachtungsfehler x 
i. Wir nehmen an, diese un- 
dclcn kleinen Elementarfehler 
unter sich gleich; cs rechtfer- 
diesc Annahme dadurch, dass 
ipulatiou doch wieder als aus 
sammengesetzt betrachtet wer- 
. Sind also die sich aus ge- 
anipulationcn ergehenden Feh- 
ich, so kann man diejenigen, 
össere Fehler gehen, sich der- 
1t denken, dass schliesslich die 
eich werden. Diese Gleichheit 
nur für die absoluten Werthe 
w; was ihr Zeichen anbetrifft, 
n wir an, dass jeder derselben 
i positiver als in negativer Rich- 
virken könne, in der That ist 
;ut möglich als das andere. — 
in wir nun einen dieser Fle 
ier durch q und sei 2 m die 
Iler Elementarfehler; der wirk 
liche Beobachtungsfehler summirt sich 
dann aus den positiven und negativen 
q. Ist nun der Fehler 2m q, so kann 
dies nur eintreten, wenn alle Elementar 
fehler positiv sind; ist er (2m — 2) q, so 
ist dies nur möglich, wenn 2m — 1 Mani 
pulationen positive Elementarfehler und 
eine einen solchen negativ ergeben, dies 
aber kann nach den Gesetzen der Com- 
binationsrechnung auf 2m verschiedene 
Arten geschehen. Ist der Fehler (2m—4)<7, 
so müssen 2m —2 Manipulationen posi 
tive und 2 negative Elementarfehler er 
gehen; dabei sind 
2m (2m—1) 
T 
Fälle mög 
lich und so fort. Mau erhält auf diese 
Weise folgende Tafel: 
Beobachtungsfehler. 
2 mq 
2(m — 1) q 
2(m—2)q 
2 (m — 3 )q 
Anzahl der Fälle. 
1 
2m 
2 m (2 m—1) 
1. 2 
2m (2 m — 1) (2m—2) 
IT2. 3 
2 (m — m) q~ 0 
2m (2m—1) . . . (mH-2)(m-fl) 
1. 2. 3 m 
—2(m — 1) q 
—2 mq 
2m 
1 
Von dem mittleren Gliede 2(m — m)q 
oder 0 an sind die Binomialcocfficienten, 
welche die Anzahl der Fälle angeben, 
alle symmetrisch, und die entsprechen 
den Beobachtungsfehler unterscheiden 
sich nur durch die Vorzeichen. Wir kön 
nen also der Tafel auch folgende Ge 
stalt geben, indem wir 2q ~r setzen und 
von der Mitte beginnen: 
Beobachtungsfehler. Anzahl der Fälle. 
0 
2m (2m- 
-1) (2m—2) . 
. . (m + 1) 
1. 
2. 3 
. . . m 
+r 
2m (2m- 
-1) (2m—2) . , 
. . (in+2) 
1. 
2. 3 
. , (m —1) 
±2 r 
2m (2m - 
-l)(2m—2) . 
• • ( OT +3) 
1. 
2. 3 
. (m—2) 
+sr 
+ (s + l)r 
2m(2m —l)(2m —2) ... (m-fs-fl) 
1. 2. 3 (m—s) 
2m (2m—1) (m-j-s + 2) 
1. 2. 3 (m — s — 1) 
-f-wtr 
Sei nun sr = x, (s + l)r = .r+ A» , so 
ist A® der Zuwachs der Beobachtungs 
fehler. Zieht man die Zahl der Fälle, 
in welchen der Fehler sr von derjenigen 
Zahl ah, welche angiebt, in welcher er 
(s-f-l)r ist, so erhält man den Zuwachs 
1 
oder die Abnahme, welche diese Zahl 
heim Uebergange von x in x T Aa 1 er 
leidet; ist also y die Anzahl der Fälle, 
in denen der Fehler x Vorkommen kann, 
so wird diese Zahl mit Ay zu bezeich 
nen sein, und man hat: 
2*