Quadratur (analytische). 263 Quadratur (analytische), 
da eine Abweichung erst in der fünften Bruchstelle stattfinden kann. Mithin 
V J.. .,2 „3 „4 
-0,5772- 
/ 
e ydy _ y 2 
~ lgy y + l-2-2 
2/ a 
co y - ~ x-z-z 1-2-3-3 +1.2-3.4.4 
jedoch nur unter der Bedingung, dass «/ positiv sei. 
2/ 
• + C, 
Da 
J/ = —lg» 
war, so setzt das voraus, dass lg x negativ, also x kleiner als 1 ist, und man hat: 
^ dx -W kraO I krl (lga:)ä I (lg * )3 I - 
o lg« ö( S /)+ g + 1-2*2 + 1*2.3-3 + 
wenn x kleiner als Eins ist. 
Ist x grösser als Eins, so setzt man 
s = + lg «, 
und erhält: 
./ ( 
r e*di- 
-/ «lg-’ •/ 
lg« 5 
und wenn man die Reihe 
;*+* + 
T,‘ Z" 
lgs 4- * + j _2T2 + 1.2.3. g+ 
= V'W 
1-2-2 + 1-2 -3-3 
c=—v*(ig«) 
setzt, so ist 
und 
+ 
cf« (lg*) 1 , Gg®) 5 
.-7-T =lg(lg®) + lg®+ —5-S + 
«te(®) 
+ 
(lg«) 4 
+C 
+ • . • — V'Og«)- 
/1 iiw =1 «w+‘s*+ {TiTs ^ 1^3 fTOT.4 
Wir haben hier die untere Grenze vor der Hand willkürlich angenommen. 
Nimmt man dieselbe gleich 1 oder 
kleiner als 1, so wird das Argument 
unendlich, wenn man sich die Quadratur 
auf dem gradlinigten Wege ausgeführt 
denkt. 
Es ist nämlich lg 1 = 0. Es finden also 
die Betrachtungen des Abschnitts 10) 
Anwendung. Sei A kleiner als 1, so ist: 
Es ist nämlich, wenn cf positiv ist, die 
zuerst gegebene Entwicklung anzuwen- 
r x dx _ $ dx r x dx 
.1 k \£~x~J iX \Tx + J 1 + f \Tx~ 
Da aber 
Ig(l-cf) _ cf 
lg (1+f) “ « 
mit abnehmenden cf und e wird, so ist 
das Integral völlig unbestimmt, und man 
muss daher, falls man die Integration 
auf einer graden Linie fortführen will, 
den, wo y — —lg« gesetzt wurde. 
« 
1+f 1 % X 
Nähern sich aber cf und e der Null, so 
verschwinden in den Reihen für 
<p[—lg (1 —cf)] 
und 
V, [lg (1 + f)] 
alle Glieder bis auf die ersten, und es 
wird: 
V>[ig (l+0] = igig (1+f), 
cp [—lg(1 — cf)] = lg [— lg(1 — cf)], 
so dass man hat: 
V' ] g (®) - T (- J g 1) + lg (- ig (f^f)- 
die untere Grenze u grösser als Eins 
nehmen, wenn die obere grösser als 
Eins ist. 
Macht man jedoch um den Punkt « = 1 
herum eine Ausbiegung, lässt also die 
Variable imaginär werden, so nimmt das 
Integral je nach der Wahl des Weges 
eine ganz bestimmte Bedeutung an.