Quadratur (analytische). 264 Quadratur (analytische). 
Wenn man z. B. einen unendlich klei 
nen Halbkreis mit Radius r unter der 
Abscissenaxe (d. h. auf der Seite, wo 
die Ordinaten negativ sind) wählt, so hat 
man für diesen Weg: 
f'dx_ _ C n d{rc fl ) 
' lg*“ ^o lg(1 -r^V 
-re'f 1 
gesetzt worden ist*), 
lieh kleines r ist: 
Aber für uncnd- 
lg(l—re'f 1 ) — — re't 4 , 
- drc't* 
f' 71 rie'l 1 dif 
— = / ~ = n. 
Jo 1 
also 
f 
J » lg(l—-re^*) 
Soll der Halbkreis über der Abscis- 
sen-Axe (d. h. da, wo die Ordinaten 
positiv sind) liegen , so werden die In 
tegrationsgrenzen dieses Weges 0 und 
—7i, und man hat den Werth des In 
tegrals —in. Es ist aber: 
/ * x dx r dx 
l lg* -J x Igx ./ \gx 
/ x dx 
i +r ig* 
wo das mittlere Integral das über den 
Halbkreis erstreckte ist. In der Formel 
Ig(l-cf) _ d 
lg (1 + 0 “ * 
ist also d — f~r zu setzen, und es er 
gibt sich 
Ist (1+0/ 
lgl = 0, 
/ 
dx 
je nachdem man den über oder unter 
der Abscissenaxe liegenden Halbkreis 
nimmt. 
Eig. 28. 
Im ersten Falle ist (Fig. 28.) das In 
tegral über den Weg BDFEC, im zwei 
ten über BDGEC erstreckt, wo Punkt 
A den Abscissenwerth 1 hat, und 
AD — AE — r ist. 
Man kann aber auch den Weg von 
B bis D nehmen, dann den ganzen Kreis 
DGEF beliebig viele Male in einer oder 
der andern Richtung entlang, und dann 
von D auf dem ersten oder dem zweiten 
Wege weiter nach C gehen. Es wird 
dann unser Ausdruck bei der Umkrei 
sung noch um das über DGEFD er 
streckte Integral von / -— vermehrt. 
J Igx 
*) Setzt man nämlich x ~ p + qi, und 
denkt sich unter p und q Coordinaten, 
so ist 
p = l—rcosy, q = —r sin q, 
x — i—re^\ 
Dies Integral aber ist gleich: 
r 2n dre* 1 . r 2a , 
/ — — i / drii = 
J o 'f* J o 
oder gleich: 
p—2n 
dq — —2ni, 
je nachdem man die Richtung DGEFD 
oder DFEGD wählt. 
Denkt man sich also dieses Umkrei 
sen eine beliebige Anzahl von Malen 
fortgesetzt, so kommt 
/ x ,j r 
; ¿ + V<lg*)--y(-lgO + (2s + l)*, 
wo s eine beliebige positive oder nega 
tive ganze Zahl ist. 
also