tur (analytische). 
Quadratur (analytische). 271 Quadratur (analytische). 
on s entsprechenden In 
i’ Theil mit dem Werthe 
'\x s A~u)du. 
¡eichen nicht ändert, so 
*•'(*1+1 ~ X ^ 
Durch Addition der beiden Werthe unseres Integrals ergibt sich noch: 
/ x n A-\-B S ~P 1 / ,x s-(-1 x s 
1 f (») dx = —+ A i / , —m) —/■'(« s -r M)j 
r * S ZI () ** 
Xq 
oder: 
x s 
du 
x ü /4 |— B ^ — P" ^ 
J r(*) d *=~2—f- 
-r(* s +*(* s+1 -* s ))]. 
Es scheint in allen drei Ausdrücken statt, wenn f f {x) unendlich wird, voraus- 
hier die Bedingung, dass A, B und C gesetzt, dass fix) seine Continuität nicht 
Nähcrungswerthe für unser Integral ge- verliert. Es sei z. B. 
ben, davon abzuhängen, dass f'(x) auf 
dem Integrationswege nicht unendlich f ( X J = 00 > 
wäre. Jedoch ist dies nicht der Fall. 
Die Annäherung findet auch dann noch so wird: 
det, wenn die Differenz 
A gibt also in diesem 
s—|— 1 x s 
f( x s +l — u ) du 
f-1—x s 
«r(« 4+1 —«)**. 
Verthen von x $ entspre- 
,_l_ y —u) du 
)]K +1 -^ S ) 2 ’ 
■t sich noch, dass falls 
;, einer der Werthe A 
zwar ist, falls f'(x) po 
lein, im entgegengesetz- 
/ X ~~~ 8 
f (x) dx ~ I <? f{x)dx-\- / f{x) dx, 
X* J X n * %+9 
Q+i 
wenn « und ff ins Unendliche abnehmen; pX„ 
denn da f(x) endlich bleibt, kann der Sei wieder das Integral / f(x)da 
Fall eines singulären Integrals, wo der ** r. 
Werth von 9- und t ahhängt, nicht ein- 
treten. 
Entwickelt man nun die beiden Theil- 
Integrale 
• x p e 
' f(x) dx, 
x 
/ 
/ 
gegeben, wo f(x) innerhalb der Integra 
tionsgrenzen continuirlich bleibt. Der 
Bequemlichkeit wegen bringen wir es 
jedoch auf die Grenzen Null und Eins, 
indem wir setzen: 
x = x 0 +{Xp- x 0 )u, 
für xtzx 0 wird in der That m = 0, 
für x — x wird u = 1; 
P 
ist noch 
f(x) dx 
x q-|-9 
ganz nach der obigen Weise, so wird 
der erste Theil der Summe beider be- 80 hat man es mit dem Integral 
( x p ~ x o) f[ x o+(« p -»o)»] = »(«). 
züglich mit A, B, C zusammenfallen, 
wenn « und if verschwinden, der Rest 
aber den Ausdruck f'(x ) nicht enthalten, 
also erstem’ ins Unendliche abnehmen, 
wenn die Differenz x . , — .r ver- 
s-f1 s 
schwindet. 
/: 
<f (u) du zu thun. 
Zwischen- 
Seien jetzt a lf a 
werthe zwischen Null und Eins ganz wie 
im vorigen Abschnitte. Wir wollen aber 
jetzt die Function y(w) durch eine an- 
32) Die im vorigen Abschnitte ent- dere ersetzen, da es nicht auf den all 
wickelte Theorie gibt eine Art der me- gemeinen Werth derselben, sondern nur 
chanischen Quadratur. Im Allgemeinen auf die Werthe </(«,), </(« 2 ) • • • y(a ) 
aber bezeichnet man mit diesem Aus- ankommt . Wir suchen also eine ganze 
druck jedes annähernde Integrationsver- algebr aische Function xf,(u), welche für 
fahren, wobei statt der Differenziale end- r ' ' 
liehe, aber kleine Differenzen genommen 
werden. 
Es sollen hier noch einige Arten 
u~a l , u = a 2 • > • u = a n mit (f (u) zu 
sammenfallen soll. 
Es ist dies die bekannte Aufgabe der 
der mechanischen Quadratur entwickelt Interpolation, deren Lösung darin be- 
werden. steht, dass man setzt: 
*Pi x ) _ 
f(x) f’{af)(x-af) 
f(x) = (x—a l )(x—a 1 )(x—a 3 ) ■ • • (.r 
v<«i) , #*») , V'i«®) 
+ 
+ 
/'>,)(«-«,) f'(a 3 ){x-a 3 ) 
•a ), 
+ 
+ 
V<« n ) 
f\a ) (x—a y 
1 v n J K n J