te (Methode der kleinsten). 
Quadrate (Methode der kleinsten). 21 Quadrate (Methode der kleinsten). 
— l)(2m—2) . . . (m-f-s + 1) 
. 2. 3 (m—s) 
2s + l 
wieder endlich sein, da das 
mdx mit dem unendlich klei- 
Lultiplicirt ist; sei demnach 
so ergiebt sich : 
du ~ „ 
-7-= —2 « 2 xy 
dx 
Integration: 
gy = 1gC-cc 2 x 2 , 
y = ce~ 
;r oben gefundene Werth, — 
nstante C zu bestimmen, sei 
= y 0 , so kommt C = y 0 : 
hrschcinlichheit nur eine re- 
) ist der Werth von y 0 durch- 
ledeutung. Suchen wir aber 
; Wahrscheinlichkeit des Ein- 
Eehlers x, so ist offenbar 
/ der Fälle, in denen der Feh- 
;t, durch die Zahl aller mög- 
zn dividiren, welche wir mit 
ten, denn dies ist die Defi- 
Begriffs der Wahrscheinlich- 
lieselbe gleich w, so ist also: 
endlich viele Fehler eintreten 
dx 
' da 
s + 00 annehmen. Aus der 
te 
ahrscheinlichkeit eines einzel- 
ch klein. 
in aber die Wahrscheinlich- 
ler Fehler zwischen zwei ge 
tänzen x 0 und x v liege, so 
ime aller zugehörigen w der 
ür diese Wahrscheinlichkeit, 
die wir mit w bezeichnen, d. h. da die 
Summe die Integralform annimmt: 
=-4 l < 
yTV' X 
-a 2 x 2 
dx 
Namentlich ist 
« r+Xy 
-Xy 
dx 
2« rxy 
-yd 0 1 
-te 2 x 2 
dx 
6 nnXy 
= Tn.l. 
PIX, — k' 2 
e 
dk 
dk 
a no —a 2 x 2 2 n tep —k 2 
-le dx--j= f e dk 
7T.J 0 V 0 
der Ausdruck dafür, dass der Fehler ab 
solut genommen nicht grösser als Xy sei. 
Das Integral 
./: V“—i r e~ v 
ist in endlicher Form nicht darstellbar, 
jedoch durch mechanische Quadratur 
leicht annäherungsweise zu ermitteln. Man 
hat dafür Tafeln berechnet, aus denen 
sich ergiebt, dass es sich mit wachsen 
dem «Xy bald dem Werthe nähert, den 
es für «3^=00 annimmt. 
Die Grösse te heisst auch Maass der 
Präzision, je grösser nämlich cc ist, je 
1__ 2 a 
2 y 
Hat man eine Tafel, die zu jedem 
«Xy das zugehörige w giebt, so kann 
man umgekehrt, indem man w = y setzt, 
das zugehörige «Xy — «p finden, und in 
der That ergiebt sich: 
= 0,4769360, 
mithin ist 
0,4769360 
* = 
der wahrscheinliche Fehler; er ist folg 
lich dem Maase der Präcision umgekehrt 
proportional, je genauer also die Beob- 
h, C!y ~ xy, F 2 02 — x 
die Beobachtungsfehler, w l5 w 2 , w i ... 
w m die Wahrscheinlichkeiten des Yerkom- 
mens derselben, so ist die Wahrschein 
lichkeit 11 des gleichzeitigen Vorkom 
mens aller dieser Fehler nach den Ge 
rt — a 2 Xy 2 ce — a 2 x 2 ‘- 
ß = 7T=e dx-p-e 
y n Y 71 
kleiner wird ic oder die Wahrscheinlich 
keit, dass ein Fehler in gewissen ge 
gebenen Grenzen eintrete, mit andern 
Worten, die Resultate werden mit wachsen 
dem « verlässlicher. 
Derjenige absolut genommene Werth 
von x, für den die Wahrscheinlichkeit, 
dass dieser Fehler nicht überschritten 
werde, gerade d. h. für den es gerade 
eben so wahrscheinlich ist, dass die Be 
obachtungsresultate einen kleineren, als 
dass sie einen grossem Fehler ergeben, 
heisst wahrscheinlicher Fehler; sei er 
gleich q, so ist: 
2 ncto —k 2 
achtung ist, desto kleiner ist der wahr- 
liche Fehler. 
3) Kehren wir jetzt zu unserer Auf 
gabe zurück. Es war, wenn F die ge 
gebene Function in einem bestimmten 
Falle, C der beobachtete Werth derselben 
für diesen Fall ist, 
F-C-x 
der Beobachtungsfehler. Seien nun 
Fy F 2 F 3 ... bestimmte Werthe von F, 
und Cy, C 2 , C s ... die ihnen entspre 
chenden Beobachtungsresultate, ferner 
- ■ ■ F m - C m= X m 
setzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 
(s. Wahrscheinlichkeitsrechnung) gleich 
( u, o) 2 .. . u) m , oder wenn man die vor 
hin gefundenen Werthe von a> einsetzt: 
rt —u 2 x m 2 
dx ... -pze dx, 
Y n 
d. h. /«dx\»» — « 2 (x, 2 +x 
a = (w) e 
Wären die Werthe a, b, c .. . der in 
F enthaltenen Constantcn bekannt, so 
wäre Sl demnach gegeben. Da dies aber 
nicht der Fall ist, so ist zu untersuchen, 
welche Bestimmung der rt, 6, c ... zu 
treffen sei, damit das Resultat ein so 
viel als möglich der Wahrheit sich an 
näherndes sei. 
Hier ist nun folgende Betrachtung zu 
machen. Mögen verschiedene Ursachen 
Ay, A 2 ... A m eine gewisse Wirkung 
hervorbringen können, welche bei allen 
dieselbe sei, aber nur von einer der ge- 
, ’ + . ■ • +x m 2 ) 
gebenen Ursachen herrührt, wir wissen 
nicht welche, und fragen, wie gross die 
Wahrscheinlichkeit sei, dass etwa Ay 
wirklich die Ursache sei. Möge A v in 
p, Fällen diese Wirkung herbeiführen 
können, A 2 in p 2 Fällen, und so wei 
ter, so ist offenbar diese Wahrscheinlich 
keit — , im Nenner ste- 
P1+P2+ ■ • • +P m 
hen nämlich, wie dies der Begriff der 
Wahrscheinlichkeit verlangt, alle mög 
lichen Fälle, welche die entsprechende