Quadratur (analytische). 276 Quadratur (analytische), 
und indem man so fortfährt: 
f x n f{x) dx~x m f f(x)dx—mx m ~ 1 /[/ f(x)dx] dx 
+ m(m—l)x m ~~ 2 /'[/(ff(x)dx')dx] dx— . . . 
(-l) m (m—1) (m—2) ...2.1/ f(x)dx m +1 , 
wenn man mit f f(x)dx m ^~ ^ das m-flfache Integral: 
. . /[/(/• • • {ff{x)dx)dx) dx] . . . dx 
bezeichnen will. 
Damit also die Integrale: 
P f(x) dx, 1' xf(x) dx x H ' f(x) dx 
Jo J o J 0 
verschwinden, ist es nöthig, dass auch: 
ff(x)dx, ff{x)dx', ff(x)dx* . . ff{x) dx n 
gleich Null werden. Setzt man nun: 
ff(x) dx n = (x 2 —x) n , 
so ist: 
fKx)dx n -' = 1), 
/ f(x)d.t n ~ 2 = = 2 (2»— 
, w =i£=£ 
ao; öo? 
Alle Differenzialcoefficienten von (x-—x) n bis inclusive ztim n — Iten ent 
halten aber den Factor x 2 — x; setzt man Eins für x und Null für x, so ver 
schwindet derselbe, also werden alle diese Integrale in den Grenzen Null und 
Eins genommen verschwinden. 
Damit nun 
f f{x)dx n = (x*-x) n , fc) = £L X 'Z*)L 
dx n 
sei, entwickelt man (x*—x) n nach dem binomischen Satze. Es ergibt sich: 
/ 2 in ln—1 , 2m— 2 2m—3 . 
—x) —x —n t x +M 2 a; —n a x -f- . . . 
und durch n maliges Differenziiren: 
m / d n {x r —x) n _ n m/m/(2m—1) / n—1 n!n /(2m—2) / n—2 
2n/ d ,n 1/m—1/m—1 / 2m / X 2 / m—2/m—2 ¡2m/ 
m!m!(2m—3)! n—3 
3! m—3 ! m—3 ! 2m! 
+ • • 
es bedeuten hier m,, die Bi- gen Schlüsse zu ändern zu (#“—x) n hin- 
nomialcoefficienten, m! den Ausdruck zugefügt werden. Die Wurzeln der Glei- 
1.2.3...M. chung 
Dies zuletzt entwickelte Polynomen 
muss für f{x) genommen werden. Der 
Factor nämlich kann ohne die obi- 
2m! 
dx 
sind dann positive und ungleiche echte