Quadratur (analytische). 277 Quadratur (analytische). 
Brüche, welche die Wertho von a L , a 2 , «, . . . «^ gehen, zu welchen die Aus 
drücke /■(« t ), . . . /■(« ) berechnet werden müssen*). 
C 1 f\ x ) ® x 
Es sei wieder: A = / =7—= r, 
* J 0 f<V<*~V’ 
so hat man: /. r f {x)dx = KJ(a l )+KJ{a. 1 ) + . . . 
Die folgende Tafel enthält die Werthe von « und A, wenn die Anzahl der 
Zwischenwerthe bekannt ist. 
Anzahl der 
Zwischenwerthe. 
2 
« t =0,21132487 
A l= * 
« a = 0,78867513 
a 2 =a 
3 
« t =0,11270167 
« 2 =0,50000000 
— 4 
«, =0,88729833 
T{ — 5 
11 3 — TF 
4 
«, =0,06943184 
A t =0,17392742 
« a = 0,33000948 
A. =0,32607258 
«3=0,66999052 
A s = A a 
« 4 = 0,93056816 
A 4 =A t 
5 
« t =0,04691008 
A, =0,11846344 
«,= 0,23076534 
A a = 0,23931434 
«,=0,50000000 
A s =0,28444444 
« 4 = 0,76923466 
a 4 =a 2 
« 5 =0,95308992 
A s =Aj 
*) Dass die Gleichung 
d n {x'~x) n 
dx n 
welche offenbar vom nten Grade ist, 
wirklich n verschiedene positiv^Brüche 
zu Wurzeln habe, ist leicht in folgen 
der Weise einzusehen. Der Ausdruck 
(x 2 —x) n hat zwei nfache Wurzeln 0 
und 1, zwischen beiden also ein Maxi 
mum oder Minimum, welches übrigens 
./ o _ 
gleich A ist, da = 0 die- 
dx 
sen Werth gibt. Die Gleichung 
d(x 2 -x) n 
dx 
hat die beiden Wurzeln Null und Eins 
noch, diese sind aber n—Ifach, aus 
serdem j als Wurzel; da diese Glei 
chung vom 2m—Iten Grade ist, so sind 
weiter keine Wurzeln vorhanden, und 
ist eine einfache Wurzel. Es müssen 
also zwischen 0 und 4 nnd zwischen 
j und 1 Maxima bezüglich Minima von 
d(x 5 —x\ n 
liegen, welche die Gleichung 
dx 
d i (x 2 — x) 
dx 3 
erfüllen, und die wir mit a und ß be 
zeichnen. Die letzte Gleichung hat also 
die n—2fachen Wurzeln 0 und 1, aus 
serdem die einfachen « und ß, also 
liegen zwischen 0 und u, u und ß, 
ß und 1 Maxima oder Minima von 
d 1 (x 2 —x) n ttt 1 
—i-—■———, deren Werthe cc., ß., y. 
dx 2 
seien, und Gleichung 
d 3 (x 2 —X) 
dx 3 
- 0 
hat die Wurzeln « t , ß y , y t , Null und 
Eins. Die beiden letztem sind«—2fach, 
die übrigen einfach. Indem man so 
fortfährt, stellen sich 4, 5 . . . Wur 
zeln zwischen Null und Eins für 
die hohem Differenzialquotienten von 
(x 2 —x) n ein, und die Wurzeln Null 
und Eins werden um je einen Grad 
jM/ n \Z* 
. , . -r, . d (x 2 —x) 
niedrigen Bei — — 
verschwin 
de 
den die letztem ganz, und die Anzahl 
der einfachen zwischen Null und Eins 
liegenden Wurzeln ist n. Mehr sind 
nicht möglich, da dieser Ausdruck vom 
nten Grade ist. 
0