analytische). 
\x,y)dxdy, 
x, y) dy dx. 
« und ß liegende 
ie zwischen y und 
i) discontinuirlich. 
scontinuitäten vor, 
gebende Verfahren 
!n. 
o ist: 
fi—e 
f( x > y) dy 
y 
f ( x > y) dy 1 dx. 
9• J 
■s ist mithin die 
»ebenen Bezeich- 
-xp(x,fi + 9)]dx. 
t die linke Seite 
Quadratur (analytische). 281 Quadratur (analytische), 
es ist also: 
• ß ffi "h 5" 
(*- 
r p r f*T<r fß 
B—A= I I F(x, y)dy dx~j [tp(x,fi+9) — \p(x,fi — t)]dx. 
a-J fi—t •* « 
In dem vorhin berechneten Beispiele war: 
f &y) = / f(*,y) d y = -- ~ 
’ x 1 i J 
also: 
u — 0, 
tp(x, /u+9) = 
- ,9 
x'+d*’ 
ip(x,fi—e) 
s 
x*+ **’ 
— i9 
x*+ 9 2 
arc tg — + arc tg — — arc tg 
9 6 
l)- 
Da 9 und « unendlich klein sind, so ge 
ben die 4 Bogen alle und zwar 
den positiven Werth dann, wenn der 
Zähler ß oder a positiv, den negativen, 
wenn er negativ ist. In unserm Falle 
war /3 = 1, «=—1, man erhält also 
( n . n n n\ n 
2 + 2 + 2 + 2/ ~ 
und; 
A — B~2tt, 
wie dies auch sich oben ergeben hat. 
35) Doppelintegrale, deren 
Grenzen nicht constant sind. 
Im Allgemeinen sind aber die Grenzen 
der Doppelintegrale, wie überhaupt der 
vielfachen, nicht als constant anzusehen. 
Wir wollen nur Doppelintegrale betrach 
ten, da vielfache sich immer durch Wie 
derholung des bei Doppelintegralen ein 
zuschlagenden Verfahrens behandeln las 
sen; auch setzen wir jetzt voraus, dass 
f jf '(*» y) dxd V = hm S f S a {y i 
das über den Theil der Ebene, welcher 
von unserm Umfange begrenzt wird, er 
streckte Doppelintegral. Es ist hier 
bei der ganze Inhalt in unendlich 
kleine Rechtecke getheilt, deren Inhalt 
(y s ~~y s -0 ( x t■’“**_t) beträgt, und 
jeder dieser unendlich kleinen Ebenen- 
die Function f{x, y) während des Inte 
grationsweges continuirlich bleibt, womit 
der im vorigen Abschnitte behandelte 
Ausnahmefall wegfällt. 
Denken wir uns in der Ebene einen 
beliebigen Umfang, unter x und y recht 
winklige Coordinaten. Der Umfang kann 
beliebig gekrümmt sein, auch ganz oder 
zum Theil aus graden Linien bestehen. 
Wir setzen ihn aber stets als geschlossen 
voraus, schliessen jedoch den Fall mit 
ein, dass einzelne Theile desselben ins 
Unendliche fallen, in welchem Falle wir 
die Grenzlinie uns in beliebiger Weise 
ins Unendliche fortgesetzt denken. Z. B. 
besteht die Begrenzung nur aus zwei 
parallelen Graden, so können wir zu 
ihnen zwei unendlich entfernte senkrechte 
Grade nehmen, also ein unendlich gros 
ses Rechteck als Umfang betrachten. 
Sind #!, x 2 .. ,x s beliebige Abscissen, 
V D Vi • • • Vs die zugehörigen Ordinaten, 
von denen jedoch zwei auf"einander fol 
gende einander unenlich nahe gedacht 
werden, so ist: 
theile mit dem entsprechenden Werthe 
von f(x, y) multiplicirt. 
Will man eine Veranschaulichung ma 
chen, so kann man unter f(x,y) sich die 
Dichtigkeit des Ebnentheils denken, und 
es stellt dann das Doppelintegral die 
Masse des ganzen begrenzten Inhalts vor.