Quadratur (analytische). 282 Quadratur (analytische). 
Es ist augenblicklich ersichtlich, wie diese 
ganze Veranschaulichung auch auf drei 
fache Integrale Anwendung findet, wenn 
man dem geschlossenen Umfange eine 
Grenzfläche, den unendlich kleinen Recht 
ecken aber Parallelepipeda substituirt. 
Es ist nach dieser Definition der Dop 
pelintegrale völlig klar, dass 
ffmy) dxdy =fff(x,y) dy dx 
zu setzen ist, da die unendlich kleinen 
Parallelogramme {x t ~x f+ ( )(y s —y g _ { ) 
und (y g —y g _ ± ) (x f ~x f _ i ) identisch 
sind , auch findet diese Umkehrung für 
vielfache Integrale statt. 
Es handelt sich aber darum, wie in 
beiden Gestalten des Integrals die Gren 
zen von x und y bestimmt werden 
müssen, damit in der That dasselbe den 
gegebenen Umfang umfasse. 
Eig. 30. 
Mögen die Linien (Eig. 80.) OA und 
OB die Richtung der positiven Abscissen 
und Ordinaten angeben, und sei EWFT 
der gegebene Umfang. 
Der Ausdruck f f(x,y)dy, wo x be 
liebig ist, stellt dann ein Integral vor, 
welches sich über die dem gegebenen x 
entsprechende Ordinate GK und zwar von 
iE bis G erstreckt. Wir haben hier vor 
ausgesetzt, dass der Umfang ein einfach 
begrenzender ist, und jede der Abscissen- 
axe oder der Ordinatenaxe parallele Li 
nie denselben höchstens zweimal schneide. 
Seien 
Y 0 =f 0 (x), F I= /\(«) 
die beiden Ordinatenwerthe, welche für 
gegebenes x diesen Schnittpuncten W 
und G der Ordinate entsprechen, so sind 
Y Y 
1 0) 1 v 
die Grenzen unseres Integrals. Sei dem 
nach : 
f(x, y) dx = y(x), 
Y* 
so ist das Integral f rj (x) dx über die 
Abscissenaxe von Punkt H bis L, d. h. 
von der kleinsten bis zur grössten Ab- 
cisse, denen Puncte des Umfanges ent 
sprechen, zu erstrecken, und setzt man 
also: 
OH=NE = x 0 , OL = MF=x l} 
so sind dies die Grenzen; x 0 und x, 
sind hier gegebene Constanten, während 
Y 0 , Y 1 Eunctionen von x sind. Der 
Werth des Integrals ist also: 
/; 
f x i r x ‘ 
I I f(x,y)dydx= / / f{x, y) dydx. 
J x o J Y o J x o J fo i x ) 
Wir wollen nun aber die Integration so ist 
mit x beginnen. „X, 
r / f( x > v) dx := tJj(y) 
J f{x, y) dx ist dann über eine der J x 
Abscissenaxe parallele Linie PS zu er- _ . . . , 
strecken, welche einem gegebenen Werthe unser Integral; y»(y) ist dann nochmals 
von y entspricht. Die Puncte P und S zwischen den Puncten T und U welchen 
sind die Schnittpuncte, welche für den der g rosste ™ d der kleinste Ordmaten- 
gegebenen Ordinatenwerth stattfinden, werth entsprechen, zu mtegnren. Sei 
seien deren Abscissenwerthe bezüglich: UV=OA=y 0 , TR—OB—y v 
X 0 — (f 0 {y), = also y 0 undy l Constanten, so hat man: 
fVi pVi />^i 
/ y{y) dy= I I f( x , y) dx dy, 
7 y 0 J y 0 J x 0 
also: 
/ y i r r f i(y) f xx f 1 tW 
I f{x,y)dxdy~ I I f{x,y)dy 
y<T <fo(y) J x o foi x ) 
x i rfii x ) 
dx.