(analytische). 
Quadratur (analytische), 291 Quadratur (analytische). 
19* 
P b — ux , 
= I e um, 
•' a 
Integration verificiren 
dx du. 
amt: 
b — 1 a— I 
-y 
lg y 
II 
d u, 
wenn a complex ist, 
1 a -f ei 
y!g -—-i, 
aber auch: 
v= f”f + " .-(»+*•> Md. = i r 
•J 0*' — a '' 
woraus dann folgt: 
/ 
00 — (a + ai)x _ —(a—ca)x 
dx, 
co — (a+cn)x —(a—ca)x 1 . 
(te = — lg —— 
0 
Aus den Gleichungen 
axi — axi 
e —e 
— = sm ax, 
¿i 
?st _ 1 + itgs 
1—itgs 
oder, wenn man: 
a 
- =tgs 
a 
setzt: 
dass 
/ 
•J r 
dx eine conti- 
2i arc tg — = lg 
a +i« 
— , 
a —icc 
nuirliche Function von u ist, die für 
a = 0 verschwindet. Es muss also für 
diesen Fall auch arctg — gleich Null 
ct 
werden, was nur hei dem absolut klein 
sten zugehörigen Bogen der Fall, so dass, 
wie in der Regel, auch hier derselbe 
a 
unter arctg— zu verstehen ist. 
a 
Das mit III bezeichnete Integral gilt 
für jeden positiven Werth von «; es 
fragt sich, ob es für a — 0 noch rich 
tig ist. 
Offenbar stellen beide Seiten der Glei 
chung 
/ °° c —ax sinmr^_ k 
q x ° a 
entstehen, welcher der arcus tangens zu . 
nehmen sei; da, wenn m der kleinste Functionen vor, die für positives a con- 
Werth des Arcus tangens ist, der all- tmuirlich sind, wie klein auch a sei. 
gemeine Ausdruck für diese Function hagt sich, ob diese Continuität 
m-\-sn wird, wo s eine positive oder noc h stattfindet, wenn a über alle Gren- 
negative ganze Zahl ist. zen nac h Null abnimmt, in welchem 
_ Falle auch dann noch beide Seiten der 
Im Integral I war dieser Zweifel nicht Q.i e i c ] lun g ihren Werth für a — 0 beibe 
halten. 
ergibt sich: 
• CO 
f 
«/ i 
— ccx sin (XX 
dx— arctg-. III 
vorhanden, denn 
/ 
co — ax — bx 
— e 
dx 
Die rechte Seite ist in der That eine 
continuirliche Function von a, welche 
für verschwindendes 
a die Werthe — 
U 
0 x 
ist eine reelle Grösse, folglich kann auch 
nur der reelle Werth von lg I — I dafür 
\a/ n 
genommen werden. und — annimmt, je nachdem cc positiv 
In unserm Falle aber löst sich auch oder negativ ist. Was die linke Seite 
der Zweifel leicht, wenn man bedenkt, anbetrifft, so schreiben wir 
f 
-dx : 
f 
•' 0 
-dx -f- 
/: 
-dx. 
Continuität findet dann statt, wenn mit wachsendem k das letztere Integral ver 
schwindet. Sei, um dies zu untersuchen 
kJ^-, 
so haben wir: