Quadratur (analytische). 296 Quadratur (analytische). 
Diese Resultate, bezüglich zu den Ausdrücken X und XI addirend, erhält man: 
In 
f 
dx: 
f 
+ C0 
—00 
-era; 2 2n, 
x dx — 
y« 
n (2 n)! 
« , n , % 
4 n! « 
Xd 
XIc 
In dem Integral Xd ist die Function e~ 
stets continuirlich und eindeu 
tig, also der Werth vom Integrationsweg unabhängig, vorausgesetzt, dass die 
Grenzen —oo und + oo bleiben. Setzen wir jetzt 
ac=y + hi, 
wo h reell ist, so werden —s — hi und +s — hi die Grenzen von y, wo s eine 
unendlich grosse, aber wesentlich reelle und positive Grösse bedeutet. Nach dem 
eben Gesagten ist im übrigen der Integrationsweg gleichgültig. Aber: 
. + s — hi 
; >v r" .+ r + ’+ r 
J s fli J s hl .J s .J -j_s 
wo in jedem der Theilintegrale rechts 'dieselbe Function, welche links steht, zu 
ergänzen ist. 
,s—hi 
Offenbar aber verschwindet mit wachsendem s im ersten und dritten Theil 
die Function ganz, und man hat also: 
/ 
+ s 
s—hi 
dx: 
r: 
e -a(y+hi)* d /' + r e ~«(y+hiy d J”' 
s—hi •/ -oo F « 
- $ ^ —S—Hl * ß —oo 
Trennt man den reellen und imaginären Theil, so ergibt sich: 
+ °° 2 ¡TI __ ah 2 
J e cty cos (2«h)y dy = T/^ e 
und der mit dem sinus behaftete Theil wird Null, wie sich übrigens von selbst 
versteht. Wir setzen 
2« h~ ß 
f 
+ co 
—CO 
4« 
Es ist aber auch: 
. + C0 » 
— (i y\ 
/ 1* u 
G 
ßy d y- f 
c<y cos ßy d y=^/~ß 
r° 
ßy d <J + / 
—o 
XII 
-<*y 
,—uy 
cos ßydy 
und 
/ 
i fCC 2 
cos ßydy =. I e a y cos ßydy, 
•J 0 
wenn —y für y gesetzt wird. 
Es ergibt sich hieraus: 
r .co 
0 
-cty 
cos ßy dy 
- « 
- il 
4« 
Xlla 
_Bei dem Ausdrucke X kann ein Zweifel entstehen, welcher Werth von 
7t 
— gemeint sei, wenn « eine complexe Zahl ist.