alytische). 
Quadratur (analytische). 299 Quadratur (analytische). 
—CO, 
= +CO, 
n. Ist nämlich 
hat man: 
;hts x— « nicht 
he den Artikel: 
n.) Multiplicirt 
;r Gleichung mit 
A' 
n Glieder ver- 
lle werden aber 
v) beide gleich 
durch Differen- 
'enners : 
te Wurzeln un- 
-p — qi, 
lörigen Partial- 
P-Qi, 
> kommt: 
+ arctg(r+p)] 
wo die Summen auf alle den Wurzel- dem mittlern Werth 
paaren entsprechenden Werthe von P und 
Q sich beziehen. so 
wohl zu bemerken ist, dass dies Re 
sultat von dem Verhältniss h der ohern 
und untern Grenze abhängt, also ganz 
unbestimmt ist. 
Nur in dem Falle, wo —AP ver 
schwindet, hat dies Integral in den Gren 
zen — co und + oo einen bestimmten 
und eindeutigen Werth. 
Sei z. B. Q-- 
entspricht. 
In den Ausdruck für Q setzen wir: 
(2m+1) n 
2n 
und multipliciren und dividiren mit sin«; 
es kommt dann: 
1 2 sin (2s+ 1) « sin « 
2 n 
f{x) = x 
Dann ist: 
<j(x) = l+x 
und m kleiner als n. 
f( x ) _ 1 2m—2ii+ l. 
'l’(x) 2 n 
Die Wurzeln « der Gleichung 
1 i - n A 
1 + ie — 0 
aber sind: 
, . 2s +1 . 2s +1 
a=p + qi = cos ——jj+i sin ——TT, 
wo s jeden der Werthe 0, 1, 2 
annehmen kann. 
2 n 
(2 m—2n-f- i) 
P- 
2 n 
2s 4-1 
cos —-— (2m—2«+!)?, 
2 n 
n 1 . 2s +1 
Q =2i 5,n — 
-2n-\-l)n 
oder 
»_ 1 ( 2s + l)( 2,,l + l) 7r 
1 “~2Ü C0S Wi ’ 
Q= 
(2s+ 1) (2m+ 1) n 
4n sin 
= t— (cos 2s«—cos 2 (s-fl)ß), 
4n sm « v \ s /■> 
woraus sich, wenn man für s die Werthe 
0, 1, 2 • • • 2n—1 setzt, ergibt: 
1 —cos 2na 
¿Q = - 
4n sin « 
oder, 
ist : 
da 
cos 2 nu- 
-cos (2m+l)n = —1 
2V=~ 
In dem Ausdrucke 
(■-’s + i )ni 
/•(«) _ 1 r~^T~ 
<l'(a) 2 n 
ist der reelle Theil mit P, der imagi 
naire mit Q zu bezeichnen, also: 
1 
2h sin <^'”4 ^ 
2 n 
In diesem Falle fällt also der logarith- 
mische Theil, welcher unbestimmt war, 
ganz weg, und man hat, wie auch das 
reelle Verhältniss der obern zur untern 
Grenze beschaffen sei: 
/ 
+ GO 
1 + Æ 
2 71 
~dx — ■ 
(2m+1) n 
XV 
2 n 
2 n 2n 
Es ist aber augenblicklich zu sehen, dass 
für snet — 1 und sxzn—a die Werthe 
von P derart sich entsprechen, dass der 
eine der entgegengesetzte des andern ist, 
wenn also die Zahl n grade ist, so wird 
2P = 0. 
Dies findet auch statt, wenn n ungrade 
ist, da 
_ 1 2m -(-1 A 
— 2h cos 2 71=0 
Bei diesem Integral ist jedoch der Inte, 
grationsweg keineswegs beliebig. 
Nimmt man denselben auf der Ab- 
scissenaxe, so bleibt x stets reell und es 
tritt keine Discontinuität ein, da nur für 
2n 
imaginäres x der Nenner 1+x ver 
schwinden kann. Wählt man einen an 
dern Weg, so darf in dem von demsel 
ben und der Abscissenaxe begrenzten 
Flächentheil keine Wurzel der Gleichung 
l + x' n enthalten sein, weil sonst nach 
dem früher (Abschnitt 13) Gesagten das 
Resultat ein andres werden muss. 
In dem Ausdrucke XV können auch 
die Integrationsgrenzen von Null bis un 
endlich genommen werden. Es ist näm 
lich : 
/ 
+co 
2 m 
1 -f- X 
2 n 
-dx ~ 
f 
1 ~\~x " 
-dx-\- 
f 
-dx. 
1+a:" 
KIV