Quadratur (analytische). 303 Quadratur (analytische). 
Sind x—u,* x — ((,••• x—a • ••« = « 
15 2 p n 
die Discontinnitätspunkte und setzen wir 
unendlich kleine Kreise mit Radius r als 
Umfänge derselben voraus, so ist: 
/ » r* 2 71 
dx — rij + e'f l d<j. 
Für jeden solcher Umringe, also wenn 
sich j* auf den äussern Umring be 
zieht : 
Satz III Gesagten das über den äusseren 
Umfang ausgedehnte Integral J f{x) dx, 
gleich der Summe derjenigen Integrale 
derselben Function, welche über die in- 
nern die Discontinuitätspuncte umgeben 
den Umringe in gleicher llichtung als 
der äussere sich erstrecken. Es ist näm 
lich in dem zwischen allen diesen Um 
fängen befindlichen Raum keine weitere 
Discontinuität der Function f[x) vorhan 
den. Vorausgesetzt ist hier, dass auf 
dem äussern Umfang seihst keine Dis 
continuität eintritt. 
/»/ p=n r m ■ , 
I f(x) dx — ri 2 I f (« + re f ) e 1 df, 
./ p~ iJ 0 P 
wo r eine ins Unendliche abnehmende der Modul von « +m kleiner als jeder 
Constante ist. . . . , J* . . .... . , 
-vr -i , , . c , ... . - , derjenigen Moduln ist, tur welchen eine 
JNach einem bekannten Satze lasst sich *U. .. ..... . ... 
j , , , ... A zweite Discontinuität eintritt. 
der Ausdruck f + m), welcher für m = ü 
j. , P. , , . . Es ist also innerhalb unseres, den 
discontmuirlich wird, so lange in eine A , •, . TT . 
, ... t ... -r. lunct « umgehenden kleinen Umrings 
nach ganzen positiven und negativen ro- p ° ° 
tenzen geordnete Reihe entwickeln, als und auf demselben jedenfalls: 
n~ oo n.— cc 
f(ce +m) = A A u n + I B u' 
' v « 1 ' „ n . n 
ii —0 n—1 
V 
und 
r~ n , 
ri l f ( a n+ rei 
o ' 
- 11 — 00 
*) ef d<i — ri 2 A 
' ' i 
il— 0 
/■‘ 2 > e («+07Q/ y , 
•J n 
Bei der Integration werden alle Inte 
grale Null, da die Werthe der Integrale 
e Sl l l die Grenzen 0 und 2n gleich 
werden. 
Eine Ausnahme macht nur das mit 
B 1 multiplicirte Glied: 
r 2n 
iB 1 1 dtp — 2niB j. 
j 0 
Es ist aber B l nichts anders als der 
Coefficicnt von — in der Entwicklung 
von f( r< p + m ). Diesen Cocfficienten 
nennt man nach Cauchy das Residuum 
von f( n p)- Wir bezeichnen denselben 
durch: 
B t = Res /(«p) 
und haben also den höchst wichtigen 
Satz: 
f 
f{x) dx 
2 ti 1 Res ) 
v - i ]> 
n = CO 
+ «• X 
ri— 1 
2 71 \ • 
— 11 ( 1 — il) II t , 
r e K ' 1 dipi 
0 
d. h. „das Integral einer eindeutigen 
über einen gewissen Umfang erstreckten 
Function ist gleich der Residuumsumme 
aller innerhalb dieses Umfanges befind 
lichen Discontiuuitäten multiplicirt mit 
2 ni. 
Befindet sich auf dem Umfange selbst 
eine Discontinuität, so ist für diesen 
Funkt eine Ausbiegung zu machen. Ge 
schieht dieselbe nach innen, so fällt 
diese Discontinuität ganz aus der Be 
trachtung weg, geschieht sie aber nach 
aussen, so ist das zugehörige Residuum 
in die Summe rechts mit aufzunehmen. 
Unterwerfen wir jetzt die Function 
f{x) noch folgender Bedingung: Sie soll 
verschwinden, wenn man den reellen 
Theil von x positiv oder negativ unend 
lich, und wenn man den mit Umultipli- 
cirten Theil positiv unendlich setzt. 
Solche Function ist z. B. x s , wo s 
eine beliebige positive Zahl ist. 
Als Umfang betrachten wir dann ein 
Rechteck, dessen eine Seite ein Stück