Quadratur (analytische). 304 Quadratur (analytische). 
2a der Äbscissenaxe bildet, in dessen ist dann, wenn man 
Mitte der Anfangspunkt der Coordinaten x — p + qi 
liegt, und wo die beiden nicht parallelen setzt, das Integral in 4 andre zu thei- 
Seiten sieb auf der Seite der positiven len, welche den 4 Seiten des Rechtecks 
Ordinate bis zur Höhe b erstrecken. Es entsprechen, also: 
i a r* b 
f fix)dx-i f(j>) dp + C f(a+qi)idq + f f(p + bi)dp 
J .J _ a J o •' +« 
+ / n- 
■f /, 
-a-\-qi)idq. 
Im ersten und dritten Integral ist näm 
lich offenbar die Ordinate q constant und 
bezüglich gleich 0 und 6, im zweiten und 
vierten ist die Abscisse constant und be 
züglich gleich -\-a und —a. 
Lässt man nun die positiven Grössen 
a und h ins Unendliche wachsen, so ver 
schwinden nach unserer Annahme die 
Functionen unter den drei letzten Inte 
gralzeichen für jeden Werth , den sie 
Beispiel. Sei 
/(*) = : 
1+x' 1 
ein Ausdruck, der in der That für 
a;=+co und ar=-fooi 
verschwindet. Discontinuität tritt nur für 
den Fall ein, wo: 
während der Integration annehmen, also: ist; setzen wir also 
x = i+u, 
/■(co +qi) = f(p + ooi) = /‘( — co +c/i) = 0. 
Es ist also J fix) dx lediglich gleich 
so wird : 
dem ersten 
/ + co 
— CT) 
f(p)dp, also : 
aifu + i) — a aui 
P. \ ‘ S p 0 
2ui+u 2 n(2i+u) 
und 
/ + co p — n 
f(x) dx = 2ni A Res f{a ), (A) 
—co p= i ^ 
wo auf alle Discontinuitätspuukte geht 
deren imaginärer Theil positiv ist. Die 
Residuen beziehen sich also auf alle Werthe 
von « , deren mit i multiplicirter Theil 
positiv ist. Das Integral links erstreckt 
sich über die ganze Äbscissenaxe, die 
Function f{x) ist also immer reell. Eine 
Ausnahme bildet nur der Fall, wo f(x) 
reelle Discontinuitätspunkte hat, die also 
auf der Äbscissenaxe liegen. In diesem 
Falle ist eine Ausbiegung auf die ne- 
Res f(t) = _ 
r* +co 
•' —cn 
2 i 
-dx — i 
1+x 
also wenn man Reelles und Imaginäres 
trennt : 
r 
cos ax dx 
1-K* 2 : 
sin ax dx 
'1 + ^ 
= 0. 
gative oder positive Ordinaten-Seite zu Das erste Resultat haben wir schon frü- 
machen, und im erstem Falle tritt das her ei'halten. Die meisten schon gefun- 
Residuum der hezeichneten Discontinuität denen Werthe bestimmter Integrale wür- 
zur Summe rechts hinzu; das Resultat den sich aber auf dieselbe Weise ahlei- 
verliert also seine Eindeutigkeit. ten lassen. 
43) Weiter e Anw en düng en der vorigen Methode. 
Die Formel A nimmt auch noch eine andre Form an; es ist: 
/ -(-GO <-»0 x^-|-CO 
f{x) dx - I f{x)dx + I f(x) dx 
— CO J —00 J 0 
und wenn wir im ersten Integral rechts x mit — x vertauschen: 
f + OO f + co 
/ f(x)dx=l [f(x)+f(—x)]dx, 
t / J n